Diese Definition ist gut, weil sie de facto den Satz X erklärt. Im Folgenden kürze ich diese Definition von Pafel kurz mit w@p-Differenz ab. Interessant an dieser Definition ist sicherlich insbesondere die Komponente (ii). Die minimale Differenz zwischen zwei möglichen Welten \(w\) und \(@\), relative zur, bona fide wahren , Proposition \(p\), ist in dieser Definition durch eine Reihe, meiner Meinung nach ontologisch anspruchsvoller Kanditaten bestimmt, nämlich: Vorgang (Prozess), Zustand, P-Kompatibilität und Ähnlichkeit (zwischen möglichen Welten). Auch wenn die Strategie, die in der w@p-Differnz verfolgt wird ohne Zweifel funktioniert, weist sie meiner Meinung nach zwei Schwachpunkte auf:
Erstens, ungeachtet der Frage danach, ob unsere Realität einer Quine’schen Wüstenlandschaft gleicht oder welchen ontologischen Status Mögliche Welten haben (Stichwort: Lewis’ Modaler Realismus), so muss meiner Meinung nach im Sinne von Ockhams Rasiermesser die Überlegung angestellt werden, ob die Definition bereits schlank genug ist. Zweitens sind die in der Definition verwendeten Begriffe wie Vorgang, Zustand oder Kompatibilität als Erklärungskomponenten meiner Meinung nach deshalb ungeeignet, weil sie selbst errklärungsbedürftig sind.
Beide Schwächen der w@p-Differenz lassen sich, wie ich meine, verbessern. Ich glaube, dass die w@p-Differenz einerseits (a) weiter vereinfacht werden kann und andererseits (b) auf fundamentalere beziehungsweise einfachere Begriffe reduziert werden kann. Dazu schlage ich hier die folgende Strategie vor: Erstens möchte ich auf bereits bestehende Theorien zurückgreifen. Zweitens möchte ich mit dem Rückgriff auf bereits bestehende Theorien die Analyse soweit wie möglich in Richtung unseres logisch-mathematischen Fundaments verschieben. Diese Strategie führt zu einer Analyse von Satz X, die meiner Meinung nach noch mehr Erklärungskraft hat, als die bisherige Analyse.
Zwei Theorien sind meiner Meinung nach geeignete, Anwärter die Erklärung qua w@p-Differenz im obigen Sinne stromlienenförmiger zu machen. Erstens die Ranking Theory von Spohn. Zweitens die Edit Distance die, in dieser Form, auf Levenshtein zurückgeht.
Zunächst wende ich mich der Ranking Theory zu, dann der Edit Distance.
Ranking Theory nach Spohn angewendet auf die Kompatibilitätsbedingung in der w@p-Differenz
Die Ranking Theory ermöglicht es meiner Meinung nach, die Intuition einzufangen, dass nur diejenigen möglichen Welten \(W' \subset W\) für die Auswahl minimal differenter möglicher Welten in Betracht zu kommen scheinen, für die gilt, dass sie relativ zur Proposition \(p \in \mathcal{P}\) kompatibel sind. Kompatibilität der Proposition \(p \in\) @ und der Möglichen Welt \(w \in W'\) bedeutet, in einer ersten Annäherung, dass \(p \wedge q\) wahr ist, dass \(p \in w\). Das heißt, dass \(p\) und \(q\) in \(w\) wahr sind. Im Allgemeinen ist \(p_{0} \in \mathcal{P}\) nicht in allen \(w \in W\) wahr. Das gilt insbesondere natürlich für die Teilmengen der Konjunktion \(\bigcap_{i=0}^{n} p_{i}\). Außerdem ist es an dieser Stelle hilfreich festzuhalten, dass sowohl die einzelne Proposition \(p_{0}\) als auch die Teilmengen der Konjunktion der Propositionen\(\) aus \(\mathcal{P}\) wahr (beziehungsweise falsch) sind, relativ zur Möglichen Welt \(w_{j}\).
Da eine punktweise ranking function
\(\kappa: W \rightarrow N \cup \{\infty\}\) auf
\(W\) eine weitere ranking function
\(\gamma: A \rightarrow N \cup \{\infty\}\) auf einem Feld
\(A\) von Propositionen
\(p\) über möglichen Welten
\(W\)induziert,
(Huber 2016) wird, meiner Meinung nach, die Kompatibilität einer Möglichen Welt
\(w\) relativ zur Proposition
\(p \in A\) in der Sprache der Ranking Theory, in einer ersten Annäherung direkt durch die Gleichung
\(\kappa(w) = \gamma(p)\) ausgedrückt. Das heißt, dass diejenigen möglichen Welten
\(w \in W\), die zur Proposition
\(p \in A\) kompatibel sind, genau diejenigen möglichen Welten sind für die gilt, dass sie denselben Rang haben, qua des entsprechenden minimalen Rangs der entsprechenden Propositionen aus
\(w\). Analog gilt dasselbe für die spezielle mögliche Welt @. Deshalb kann man in diesem Zusammenhang ohne Beschränkung der Allgemeinheit nicht nur vom Rang möglicher Welten sprechen, sondern auch von der Kompatibilität von Propositionen.
Ein Beispiel, das die Funktionsweise der Ranking Theory verdeutlicht, ist das Beispiel von Tweety. \cite{Spohn_2013} Bei Spohn \cite{Spohn_2013} ist Tweety ein animat und hat die folgenden drei möglichen Eigenschaften, die jeweils in einer Proposition ausgedrückt sind: \((q_{1})\): Tweety ist ein Vogel., \((q_{2})\): Tweety kann fliegen., \((q_{3})\): Tweety ist ein Pinguin. Die Ranking Function \(\kappa_{tweety}\) ordnet jeder einzelnen der der drei Proposition einen eigenen Rang zu, das ist eine natürliche Zahl, die den Grad des Unglaubens eines epistemischen Subjekts \(S\) ausdrückt. Es gibt im vorliegenden Fall inklusive der logischen Negate der Propositionen insgesamt acht unterschiedliche Kombinationen der Propositionen: Tweety ist ein Vogel und Tweety ist kein Pinguin und Tweety kann fliegen (\(q_{1} \cap q_{2} \cap \neg q_{3}\)), Tweety ist ein Vogel und Tweety ist ein Pinguin und Tweety kann nicht fliegen (\(q_{1} \cap \neg q_{2} \cap q_{3}\)), Tweey ist kein Vogel und Tweety kann fliegen und Tweety ist kein Pinguin (\(\neg q_{1} \cap q_{2} \cap \neg q_{3}\)) und so weiter. \cite{Spohn_2013}
Siehe Tabelle
Die Frage nach der Kompatibilität von Propositionen lässt sich gut am komplexeren Beispiel konditionaler Überzeugungen ilustrieren. \cite{Spohn_2013} Die konditionale Überzeugung: Wenn Tweety ein Vogel ist, dann kann Tweety fliegen \((q_{1} \rightarrow q_{2})\), kann durch den kondiotonalen Rank \(\kappa(q_{2}|q_{1}) = \kappa(q_{1} \cap q_{2}) - \kappa(q_{1})\) ausgedrückt werden. (Definition 11) Geben, dass Tweety ein Pinguin ist \((q_{3})\), so lässt sich die konditionale Überzeugung: Wenn Tweety ein Pinguin ist, dann kann Tweety nicht fliegen. \((q_{3} \rightarrow \neg q_{2})\), durch \(\kappa(\neg q_{2}|q_{3})\). Die Proposition, dass Tweety ein Pinguin ist und die Proposition, dass Tweety fliegen kann, sind inkompatibel, weil sie nicht den selben Rang haben. Diese Tatsache wird in der Sprache der Ranking Theory eben dadurch reflektiert, dass \(\kappa(q_{1}|q_{2}) \neq \kappa(q_{2}|q_{3})\). Hingegen ist die Proposition, dass Tweety ein Vogel ist, kompatibel mit der Proposition, dass Tweety ein Pinguin ist, was sich durch einen gleichen Rang ausdrückt: \(\kappa(q_{1} \cap q_{2}) = \)
Das Beispiel von Tweety lässt sich leicht auf den Satz \(X\) übertragen. Um dies zu sehen, können beispielsweise die folgenden Propositionen bestrachtet bestrawerden: \((x_{1})\): Max hat den Zug bekommen., \((x_{2})\): Max wird auf dem Weg zum Zug festgehalten. \((x_{3})\): Max ist zehn Minuten früher aufgestanden. \((x_{4})\): Der Zug fällt aus.
Edit Distance nach Levenshtein angewendet auf die Bedingung der Minimalität w@p-Differenz
Die Edit Distance ermöglicht es, die Intuition einzufangen, dass nur diejenigen möglichen Welten unter den kompatiblen möglichen Welten den Wahrheitswert von Satz X bestimmen, die minimal von @ entfernt sind.
Da jede Turing-Maschine als Transistionssystem beschreibbar ist und jede Turing-Maschine sich in der Sprache der Prädikatenlogik ausdrüken lässt.
Appendix
Definition 1 (Digraph):
Ein Digraph ist ein geordnetes Paar \( G := (V, E)\) aus einer Menge \(V\) mit Elementen \(v\), genannt Knoten und einer Untermenge \(E\) aus dem kartesischen Produkt \(V \times V\), mit Elementen \(\rightarrow\), aus geordneten Paaren von Knoten, genannt Pfeile. \cite{wiki:xxxa}
Definition 2 (Graph Labeling):
Eine Funktion \(label_{edge}\) ist eine Funk tion von \(V\) in eine Menge \(L\) mit Elementen \(\alpha\), genannt Kanten-Labels. Eine Funktion \(label_{node}\) ist eine Funktion von \(E\) in eine Menge \(L'\) mit Elementen \(\beta\), genannt Knoten-Labels. \cite{wiki:xxxb}
Definition 3 (Labeled Transition System):
Ein Transistionssystem ist ein Tripel \(T : = (S, L, E)\) aus einer Menge \(S\) mit Elementen \(s\), genannt Zustände und der Menge \(L\) sowie der Menge \(E_{label}\) mit den Elementen\(\rightarrow_{\gamma}\) aus der Untermenge \(S \times L \times S\). Der Zustandswechsel (die Transistion) von Zustand \(p\) nach Zustand \(q\) mit dem Namen \(\alpha\) wird mit \(p \rightarrow_{\alpha} q\) notiert. \cite{wiki:xxx}
Definition 4 (Kripke Modell und Kripke Frame):
Ein Kripke Modell \(KM\) ist ein spezielles Transistionssystem. Die Knoten eines Kripke Modells heißen mögliche Welten. Die Menge der durch ein Label \(\alpha\) gelabelten Kanten heißt Zugänglichkeitsrelation (\(\alpha\)). Die Menge der durch eine Label \(\beta\) gelabelten möglichen Welten (Knoten) heißt Valuation (\(\beta\)). Graphen (Transistionssysteme) heißen Frames. \cite{Gasquet_2014} p. 14.
Definition 5 (Elementary graph edit operations \(e\)):
Ein Graph Edit Operator ist eine der folgenden 6 Operationen:
- Knoten einfügen,
- Knoten entfernen,
- Knoten ersetzen,
- Kanten einfügen,
- Kanten entfernen,
- Kanten ersetzen.
Definition 6 (The cost function of an edit operation \(e_{i}\)):
Der Einfachheit halber ist die Kostenfunktion \(c\) auf der Menge der Operationen \(e_{i}\), \(c(e_{i})\) nicht-negativ: \(0 \le c(e_{i})\) und Element der Reellen Zahlen: \(c(e_{i}) \in \mathbb{R}\). Der Einfachheit halber sind hier alle 6 Operationen gleichermaßen kostenintensiv.
Definition 7 (The set of edit paths for a Graph \(G\)):