Ein Beispiel, das die Funktionsweise der Ranking Theory verdeutlicht, ist das Beispiel von Tweety. \cite{Spohn_2013} Bei Spohn \cite{Spohn_2013} ist Tweety ein animat und hat die folgenden drei möglichen Eigenschaften, die jeweils in einer Proposition ausgedrückt sind: \((q_{1})\): Tweety ist ein Vogel., \((q_{2})\): Tweety kann fliegen., \((q_{3})\): Tweety ist ein Pinguin. Die Ranking Function \(\kappa_{tweety}\) ordnet jeder einzelnen der der drei Proposition einen eigenen Rang zu, das ist eine natürliche Zahl, die den Grad des Unglaubens eines epistemischen Subjekts \(S\) ausdrückt. Es gibt im vorliegenden Fall inklusive der logischen Negate der Propositionen insgesamt acht unterschiedliche Kombinationen der Propositionen: Tweety ist ein Vogel und Tweety ist kein Pinguin und Tweety kann fliegen (\(q_{1} \cap q_{2} \cap \neg q_{3}\)), Tweety ist ein Vogel und Tweety ist ein Pinguin und Tweety kann nicht fliegen (\(q_{1} \cap \neg q_{2} \cap q_{3}\)), Tweey ist kein Vogel und Tweety kann fliegen und Tweety ist kein Pinguin (\(\neg q_{1} \cap q_{2} \cap \neg q_{3}\)) und so weiter. \cite{Spohn_2013}
Siehe Tabelle
Die Frage nach der Kompatibilität von Propositionen lässt sich gut am komplexeren Beispiel konditionaler Überzeugungen ilustrieren. \cite{Spohn_2013} Die konditionale Überzeugung: Wenn Tweety ein Vogel ist, dann kann Tweety fliegen \((q_{1} \rightarrow q_{2})\), kann durch den kondiotonalen Rank \(\kappa(q_{2}|q_{1}) = \kappa(q_{1} \cap q_{2}) - \kappa(q_{1})\) ausgedrückt werden. (Definition 11) Geben, dass Tweety ein Pinguin ist \((q_{3})\), so lässt sich die konditionale Überzeugung: Wenn Tweety ein Pinguin ist, dann kann Tweety nicht fliegen. \((q_{3} \rightarrow \neg q_{2})\), durch \(\kappa(\neg q_{2}|q_{3})\). Die Proposition, dass Tweety ein Pinguin ist und die Proposition, dass Tweety fliegen kann, sind inkompatibel, weil sie nicht den selben Rang haben. Diese Tatsache wird in der Sprache der Ranking Theory eben dadurch reflektiert, dass \(\kappa(q_{1}|q_{2}) \neq \kappa(q_{2}|q_{3})\). Hingegen ist die Proposition, dass Tweety ein Vogel ist, kompatibel mit der Proposition, dass Tweety ein Pinguin ist, was sich durch einen gleichen Rang ausdrückt: \(\kappa(q_{1} \cap q_{2}) = \)
Das Beispiel von Tweety lässt sich leicht auf den Satz \(X\) übertragen. Um dies zu sehen, können beispielsweise die folgenden Propositionen bestrachtet bestrawerden: \((x_{1})\): Max hat den Zug bekommen., \((x_{2})\): Max wird auf dem Weg zum Zug festgehalten. \((x_{3})\): Max ist zehn Minuten früher aufgestanden. \((x_{4})\): Der Zug fällt aus.
Edit Distance nach Levenshtein angewendet auf die Bedingung der Minimalität w@p-Differenz
Die Edit Distance ermöglicht es, die Intuition einzufangen, dass nur diejenigen möglichen Welten unter den kompatiblen möglichen Welten den Wahrheitswert von Satz X bestimmen, die minimal von @ entfernt sind.
Da jede Turing-Maschine als Transistionssystem beschreibbar ist und jede Turing-Maschine sich in der Sprache der Prädikatenlogik ausdrüken lässt.
Appendix
Definition 1 (Digraph):
Ein Digraph ist ein geordnetes Paar \( G := (V, E)\) aus einer Menge \(V\) mit Elementen \(v\), genannt Knoten und einer Untermenge \(E\) aus dem kartesischen Produkt \(V \times V\), mit Elementen \(\rightarrow\), aus geordneten Paaren von Knoten, genannt Pfeile. \cite{wiki:xxxa}
Definition 2 (Graph Labeling):
Eine Funktion \(label_{edge}\) ist eine Funktion von \(V\) in eine Menge \(L\) mit Elementen \(\alpha\), genannt Kanten-Labels. Eine Funktion \(label_{node}\) ist eine Funktion von \(E\) in eine Menge \(L'\) mit Elementen \(\beta\), genannt Knoten-Labels. \cite{wiki:xxxb}
Definition 3 (Labeled Transition System):
Ein Transistionssystem ist ein Tripel \(T : = (S, L, E)\) aus einer Menge \(S\) mit Elementen \(s\), genannt Zustände und der Menge \(L\) sowie der Menge \(E_{label}\) mit den Elementen\(\rightarrow_{\gamma}\) aus der Untermenge \(S \times L \times S\). Der Zustandswechsel (die Transistion) von Zustand \(p\) nach Zustand \(q\) mit dem Namen \(\alpha\) wird mit \(p \rightarrow_{\alpha} q\) notiert. \cite{wiki:xxx}
Definition 4 (Kripke Modell und Kripke Frame):
Ein Kripke Modell \(KM\) ist ein spezielles Transistionssystem. Die Knoten eines Kripke Modells heißen mögliche Welten. Die Menge der durch ein Label \(\alpha\) gelabelten Kanten heißt Zugänglichkeitsrelation (\(\alpha\)). Die Menge der durch eine Label \(\beta\) gelabelten möglichen Welten (Knoten) heißt Valuation (\(\beta\)). Graphen (Transistionssysteme) heißen Frames. \cite{Gasquet_2014} p. 14.
Definition 5 (Elementary graph edit operations \(e\)):
Ein Graph Edit Operator ist eine der folgenden 6 Operationen:
- Knoten einfügen,
- Knoten entfernen,
- Knoten ersetzen,
- Kanten einfügen,
- Kanten entfernen,
- Kanten ersetzen.
Definition 6 (The cost function of an edit operation \(e_{i}\)):
Der Einfachheit halber ist die Kostenfunktion \(c\) auf der Menge der Operationen \(e_{i}\), \(c(e_{i})\) nicht-negativ: \(0 \le c(e_{i})\) und Element der Reellen Zahlen: \(c(e_{i}) \in \mathbb{R}\). Der Einfachheit halber sind hier alle 6 Operationen gleichermaßen kostenintensiv.
Definition 7 (The set of edit paths for a Graph \(G\)):