\(C_1\sin\ \sqrt{\frac{P}{El}\left(0\right)}\ +C_2\cos\sqrt{\frac{P}{El}\left(0\right)}\)
\(v=0\ \ \ \ \ x=L\)
\(v\left(x=L\right)=C_1\sin\sqrt{\frac{P}{El}}L=0\)
\(\sin\left(\sqrt{\frac{P}{El}L}\right)=0\)
Pasamos \(\sin\) hacia el lado derecho para que poco a poco vayamos despejando \(P\)
\(\sqrt{\frac{P}{El}}L=n\pi\)
Quitamos la raíz
\(\frac{P}{El}L^2=n^2\pi^2\)
Despejamos y finalmente obtenemos en siguiente resultado