Para determinar la carga critica y la forma de pandeamiento de la columna se utilizara la siguiente ecuación.

\(EI\ \frac{d^{2\ }v}{d\ x^2}=M\)
En donde M es igual a:
\(M=-Pv\)
Sustituyendo el valor de M en la ecuacion tenemos:
\(EI\ \frac{d^2v}{dx^2}=-Pv\)

Para resolver una ecuación diferencial debemos proponer una solución que la satisfaga, por lo cual seria la siguiente ecuación, en donde se deriva dos veces y luego se suma .

\(\frac{d^2v}{dx^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\)
\(\frac{dv}{dx}=\sqrt{\frac{P}{EI}\ }C1\ \cos\left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)-\sqrt{\frac{P}{EI}\ }C2\ \sin\left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}=-\left(\frac{P}{EI}\right)\ C1\ \sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}\ x}\right)-\left(\frac{P}{EI}\right)\ C2\ \cos\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI\ }\ x}\right)+\)
\(\left(\frac{P}{EI}\right)\ C1\ \sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}\ \ x}\right)\ +\left(\frac{P}{EI}\right)\ C2\ \cos\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)\)

Para determinar los valores de C1 y C2 utilizaremos las condiciones a la frontera

Las condiciones 
\(v=0\ \ \ en\ \ \ x\ \ y\ \ c2=0\)
Y la otra es que 
\(v=0\ \ en\ \ x=L\)
Finalmente explique como obtener el siguiente resultado.