\(M=-Pv\)
\(EI\ \frac{d^2v}{dx^2}=-Pv\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{Pv}{EI}\)
Para resolver una ecuación diferencial debemos proponer una solución que la satisfaga:
\(\frac{d^2v}{dx^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\)
\(\frac{dv}{dx}=\sqrt{\frac{P}{EI}\ }C1\ \cos\left(\sqrt{\frac{P}{EI}}x\right)-\sqrt{\frac{P}{EI}\ }C2\ \sin\left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}\left(\frac{P}{EI}\right)\ C1\ \sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}\ x}\right)-\left(\frac{P}{EI}\right)\ C2\ \cos\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI\ }\ x}\right)+\)
\(\left(\frac{P}{EI}\right)\ C1\ \sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}\ \ x}\right)\ +\left(\frac{P}{EI}\right)\ C2\ \cos\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)\)
Para determinar los valores de C1 y C2 utilizaremos las condiciones a la frontera
Las condiciones
\(v=0\ \ \ en\ \ \ \ x=0\ \ \ \ c2=0\)
Y la otra es que
\(v=0\ \ en\ \ x=L\)
Para que la ecuación se cumpla se debe considerar:
\(\sin\left(\frac{P}{EI}L\right)=0\)
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}L=n\ \pi\)
\(\left(\frac{P}{EI}\right)^2\ \ L^2=\left(n\ \pi\right)^2\)
\(\frac{P}{EI}\ L^2\ =\left(n\ \pi^2\right)\)\(P=\frac{\left(n\ \pi\right)^2\ EI}{L}\)
La P critica es cuando n=1 en ese momento ocurre el primer pandeamiento.