los clientes llegan al área de cajas de acuerdo con una distribución de Poisson con tasa media de 10 clientes por hora. El tiempo entre llegadas en el área de cajas es exponencial con media de 6 minutos y que el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos. Determine las probabilidades de estado estable \(P_n\) para todas las n.

Solución

Primero se obtiene el valor de \(\lambda\)\(\mu\)
\(\lambda_0\)=\(\lambda_n\)=\(\lambda\)=10 clientes por hora
\(\mu_n\)=\(\left\{\mu_1=4\ clientes\ por\ hora\right\}\)   n=0, 1, 2, 3
   \(=\left\{\mu_2=8\ clientes\ por\ hora\right\}\)   n=4, 5, 6 
   \(=\left\{\mu_3=12\ clientes\ por\ hora\right\}\)  n=7, 8, ..
Se sigue esta formula para al final sustituir los valores obtenidos.
\(P_n\)=\(\left(\frac{\lambda_{n-1}\ \lambda_{n-2}\ ....\ \lambda_0}{\mu_n\ \ \mu_{n-1}\ ....\ \mu_1}\right)\ Po,\ n=1,\ 2,\ ...\)
Para
\(P_1=\left(\frac{10}{4}\right)\ P_0\)
\(P_2=\ \left(\frac{10}{4}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)\ P_0\ =\ \left(\frac{10}{4}\right)^2\ P_0\)
\(P_3=\ \left(\frac{10}{4}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)\ P_0=\ \left(\frac{10}{4}\right)^3\ P_0\)
\(P_4=\left(\frac{10}{8}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\ P_0=\ \left(\frac{10}{8}\right)\ \left(\frac{10}{4}\right)^3\ P_0\)
\(P_5=\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\ P_0=\left(\frac{10}{8}\right)^2\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0\)
\(P_6=\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)P_0=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0\)
\(P_{n\ge7}=\left(\frac{10}{12}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)\left(\frac{10}{4}\right)P_0=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}P_0\)
A continuación se sustituyen los valores en la siguiente formula.
\(P_0+P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_{n\ge7}=1\)
\(P_0+\left(\frac{10}{4}\right)P_0+\left(\frac{10}{4}\right)^2P_0+\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{10}{8}\right)\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0+\)
\(\left(\frac{10}{8}\right)^2\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}=1\)
Se reduce
\(P_0\left\{1+\frac{10}{4}+\left(\frac{10}{4}\right)^2+\left(\frac{10}{4}\right)^3+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)+...\right\}\)
...\(\left\{\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^2+\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{4}\right)^3+...\right\}\)
...\(\left\{\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}\right\}=1\)
 
\(P_0\left[69.32+\left(\frac{10}{4}\right)^{\left\{3\right\}}\left(\frac{10}{8}\right)^{\left\{3\right\}}\left\{1+\left(\frac{10}{12}\right)+\left(\frac{10}{12}\right)^{\left\{2\right\}}+...\right\}\right]\)
\(P_0\left\{69.32+\left(\frac{10}{4}\right)^{\left\{3\right\}}\left(\frac{10}{8}\right)^{\left\{3\right\}}\left[\frac{1}{1-\frac{10}{12}}\right]\right\}=1\)
\(P_0=\frac{1}{69.32+\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left[\frac{1}{1-\frac{10}{12}}\right]}\)
\(=3.96^{-3}\)