Considerando que el consumo se puede expresar como función lineal de la renta \(Y_t=a+bX_t\)

Determine: 

a) Los parámetros a y b de la recta de regresión.

b) La predicción del valor que tomará el consumo para una renta de 650.000 millones de euros. 

Solución 

Se multiplica y se suma de la siguiente manera:  
\(\Sigma\) \(Xi\ ti\) =(258.6)(381.7)+(273.6)(402.2)+(289.7)(426.5)+(308.9)(454.3)+(331.0)(486.5)+(355.0)(520.2)+(377.1)(553.3)+(400.4)(590.0)= 1'263,227.79
Se suman todos los valores de \(X_t\):
\(\Sigma\) \(Xi\) = 258.6+273.6+289.7+308.9+331.0+355.0+377.1+400.4= 2594.3
Se suman todos los valores de \(Y_t\):
\(\Sigma\) \(ti\)= 381.7 + 402.2 + 426.5 + 454.3 + 486.5 + 520.2 + 553.3 + 590.0 = 3,814.7
Enseguida cada valore de \(Y_t\) se eleva al cuadrado:
\(\Sigma\) \(ti^{^2}\)= 145,694.89+161,764.84+181,902.25+206,388.49+236,682.25+270,608.04+306,140.89+348,100= 1,857,281.65
La suma de \(ti\) se eleva al cuadrado:
 \(\left(\Sigma\ t\ i\right)^2\)= 14,551,936.09
Tomando los resultados de cada una de las sumas se sustituye en la formula  \(b=\frac{\left(n\Sigma\ Xi\ ti-\Sigma Xi\ \Sigma ti\right)}{n\Sigma ti^2-\left(\Sigma ti\right)^2}\)
\(n=8\)
\(\Sigma Xi\ ti=1,263,227.79\)
\(\Sigma Xi=2,594.3\)
\(\Sigma ti=3,814.7\)
\(\Sigma ti^2=1,857,281.65\)
\(\left(\Sigma ti\right)^2=14,551,936.09\)
\(b=\frac{\left(8\left(1,263,227.79\right)-\left(2,594.3\right)\left(3,814.7\right)\right)}{8\left(1,857,281.65\right)-14,551,936.09}=0.68\)
Tomando el valor de b y la suma de de \(Xi\) dividida entre 8 y la suma de \(ti\) dividida de igual manera entre 8, se saca el valor de a de acuerdo a la siguiente formula: \(a=\vec{X}-b\vec{t}\)
Para \(\vec{X}\) = 2,594.3/8 =324.2875
Para \(\vec{t}\) =3,814.7/8 =476.8375
b= 0.68
\(a=324.2875-\left(0.68\right)\left(476.8375\right)=0.038\)
Por ultimo se calcula X gorrito t, multiplicando (b)( la predicción del valor que tomará el consumo para una renta)- a.
(1.87)(990)-1.59 = 1,849.71

Conclusión

Este método nos permite encontrar el valor esperado de una variable aleatoria, a cuando b toma un valor especifico.