RESUELVA CORRECTAMENTE
La fórmula para la carga crítica de una columna fue derivada en 1757 por Leonhard Euler, el gran matemático suizo. El análisis de Euler se basó en la ecuación diferencial de la curva elástica:
\(\frac{d^{2\ }v}{dx^2}+\frac{P}{EI}v=0\)
Encuentre la solución a esta ecuación y aplique las siguientes condiciones para obtener los valores de las constantes de integración:
\(v|_{x=0}=0\)
\(v|_{x=L}=0\)
Finalmente explique cómo obtener el siguiente resultado:
\(P=n^2\frac{\pi^2EI}{L^2}\)
SOLUCIÓN:
\(d^2M=\ dos\ veces\ la\ derivada\ de\ la\ función.\)
Entonces:
\(\frac{d^2v}{dx^2}+\left(\frac{P}{EI}\right)v=0\)
\(v=\ A\ \sin\ λ\ x\ +B\ \cos\ λ\ x\)
\(v'=A\ λ\ \cos\ \ λ\ x\ -\ B\ λ\ \sin\ λ\ x\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}=v''=\ A\ λ^2\ \sin\ λ\ x\ -\ B\ x^2\ \cos\ λ\ x\)
Queda:
\(-A\ λ^2\ \sin\ λ\ x\ -\ Bλ^2\ \cos\ λ\ x\ +\ \left(\frac{P}{EI}\right)\left(A\ \sin\ λ\ x\ +\ B\ \cos\ λ\ x\right)=0\)
Factorizando:
\(-A\ λ^2\ \sin\ λ\ x\ -\ B\ λ^2\ \cos\ λ\ x\ +\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ A\ \sin\ λ\ x\ \ +\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ B\ \cos\ λ\ x=0\)
\(A\ \sin\ λ\ x\ \left(-λ^2+\ \frac{P}{EI}\right)+\ B\ \cos\ λ\ x\ \left(-\ λ^2+\frac{P}{EI}\right)=\ 0\)
Despejamos:
\(-\ λ^2+\ \frac{P}{EI}=\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{P}{EI}=λ^2...\ \ \ \ \ \ \ \ \ λ^2=\frac{P}{EI}\)
Entonces:
\(μ=A\ \sin\ λ\ x\ +\ B\ \cos\ λ\ x\)
\(=\ A\ \sin\frac{\sqrt{P}}{EI}\ x\ +\ B\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\ x\)
Las condiciones son las siguientes:
\(μ=0---->\ x=0,\ \ μ=0\ ---->\ x=L\)
Luego:
\(μ=\ A\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)\ +\ B\ \cos\ \frac{\sqrt{P}}{EI}\left(0\right)\)
Por lo tanto queda que B= 0
\(A\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(L\right)\ +\ B\ \cos\ \frac{\sqrt{P}}{EI}\left(L\right)\)
(ESTO ES IGUAL A CERO)
\(\sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{E\ i}}L\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ Quedando\ \frac{\sqrt{P}}{EI}L=\ n\pi\)
n= 1,2,5....
Para despejar:
\(\frac{\sqrt{P}}{EI}L=\ n\pi\)
Es: \(\frac{P}{EI}L^2=n^2\pi^2\ \ \ ...\ \ \ \ P=\frac{n^2\ x^2\ \left(EI\right)}{L^2}\)
Cuando n=1 \(Pcr=\frac{\pi^2\left(EI\right)}{L}\)
Pcr= P critica