para resolver el problema utilizaremos la siguiente \(\ \)fórmula:
\(\frac{d^2\gamma}{dx^2}+\left(\frac{p}{EF}\right)\gamma=0\)
derivando:
\(μ=A\sinλx+B\cosλx\)
\(μ^1=Aλ\ \cosλx-B\sin\ λx\)
\(\frac{d^2μ}{dx^2}=μ=-A\sinλx-Bλ^2\cosλx\)
donde:
\(\)\(-Aλ\sinλx\) \(-Bλ^2\cosλx\) \(+\left(\frac{P}{EI}\right)\) \((A\sinλx+B\cosλx)=0\)
factorizando:
\(-Aλ^2λx-Bλ^2\cosλx+\left(\frac{P}{EI}\right)A\ \sin\ λx+\left(\frac{P}{EI}\right)B\ \cosλx=0\)
\(A\ \sin\ λx\left(-λ^2+\frac{P}{EI}\right)+B\ \cos\ λx\left(-λ^2+\frac{P}{EI}\right)=0\)
para despejar:
\(λ^2+\frac{P}{EI}=O\)\(⟻\)
\(\frac{P}{EI=λ^2}\) \(∴\) \(λ^2=\frac{P}{EI}\) \(λ=\sqrt{\frac{P}{EI}}\)
Entonces queda como resultado :
\(μ=A\ \sin\ λx+B\ \cos\ λx\)
\(μ=\ \sin\sqrt{\frac{P}{EI\ }}\)\(x+B\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\)\(x\)
las condiciones son: \(μ=0\) \(⟻\) \(x=0\) , \(μ=0\) \(⟻\) \(x=L\)
\(μ=A\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}\ \ \left(0\right)}\ \ +B\cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)\)
por lo tanto : \(B=0\)
\(A\ \sin\sqrt{\frac{P}{EI}}\ \left(L\right)+B\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\ \left(L\right)\)
\(\sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}\ \ L\right)=0\)
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}\ L=n\ \pi\)
\(n=1,2,3...\)
para despejar
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}\ L=n\ \pi\)
\(\frac{P}{EI}L^2=n^2\pi^2\ \ \)\(∴\ \) \(P=\frac{n^2\pi^2\left(EI\right)}{L^2}\)
cuando n =1
\(per=\frac{\pi^2\left(EI\right)}{L}\)
\(per\ =\ P\ \)