Nosso principal objetivo será provar, entre outras coisas, o seguinte: \(\left(1\right)\) se \(f\left(x\right)_{ }\) é contínua em todo lugar, e se \(f\left(x\right)\) é do período 2\(\pi\); se \(f\left(x\right)\) é monótona em partes em [-\(\pi\)\(\pi\)], i.e. se existem números \(x_v\), 0 \(\le\) v   \(\le\) m com   \(x_{v-1}\le\ x_v\) para 1  \(\le\)  v  \(\le\)  m,  \(x_0=-\pi\)\(x_m=\pi\), de tal modo que f(x) é monótona em cada [ \(x_{v-1},\ x_v\)]; então existem números \(a_{n\ ,\ }b_n\) independentes de x de tal modo que para todos os x nós temos:
\(f\left(x\right)\ =\ \frac{1}{2}a_0\ +\ \sum_{k=1}^{\infty}a_n\cos\ nx\ +\ b_nsen\ nx\)
E, de fato isso é realizado por:
\(\left(1\right).\) \(\left\{a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi^{ }}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ nx\ dx\ e\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi^{ }}^{\pi}f\left(x\right)sen\ nx\ dx\ \right\}\)
Esta é a chamada série de Fourier de \(f\left(x\right)\)
2) Se removermos a hipótese de monotonicidade por partes, então a conclusão não é válida.
1. Se \(a\)\(b\) e se \(f\left(x\right)\) é corretamente integrável de  \(a\) para \(b\), então
\(\lim_{w\to\infty}\int_a^bf\left(x\right)sen\ wx\ dx\ =\ 0\)
Prova: Seja \(\delta>0\) dado com a notação usual, com relação a \(f\left(x\right)\), subdividimos o intervalo \(\left[a\ ,\ b\right]\) de tal forma que 
\(\sum_{v=1}^ne_vs_v<\frac{\delta}{2}\)
Para cada \(w>\frac{4}{\delta}\sum_{v=1}^n\left|f\left(\left(a_y\right)\right|\right|\)
Nós temos que
\(\left|\int_a^bf\left(x\right)sen\ wx\ dx\right|=\left|\sum_{v=1}^n\int_{a_{v-1}}^{a_v}f\left(x\right)sen\ wx\ dx\right|=\left|\sum_{v=1}^n\int_{a_{v-1}}^{a_v}f\left(x\right)-f\left(a_v\right)\right)sen\ wx\ dx+\)