\(\sum_{v=1}^nf\left(a_v\right)\int_{a_{v-1}}^{a_v}sen\ wx\ dx \mid\) \(\le\sum_{v=1}^ne_v^{_{ }}s_v\ +\sum_{v=1}^n\left|fa_v\right|\frac{2}{w}\ <\ \frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta\)
Notações: \(\left(\rightarrow\right)\ f_-\left(\xi\right)=\lim_{n\to\xi}f(x)\ se\ existir\ e\ \left(\leftarrow\right)\ f_+\left(\xi\right)=\lim_{n\to\xi}f(x)\ se\ esse\ \lim ite\ existir.\) pela observação preliminar ao teorema 457 \(f_+\left(\xi\right)\) certamente existe se para algum \(c>0\), \(f\left(x\right)\) é limitada e monótona para \(\xi<x\le\xi+c\) ( i.e. \(f\left(x_2\right)\le f\left(x_1\right)\ \) para \(\xi<x_2\le x_1\le\xi+c\) ou \(f\left(x_2\right)\le f\left(x_1\right)\) para \(\xi<x_2\le x_1\le\xi+c\)) e \(f_-\left(\xi\right)\) certamente existe se para algum \(c>0,\ f\left(x\right)\) é limitada e monótona para \(\xi-c\le x<\xi.\)
\(\left(2\right)\) Deixe que \(f\left(x\right)\) seja corretamente integrável de \(0\ a\ \pi\), deixe que \(0<c\le\pi\ \ \)e seja \(f\left(x\right)\) monótona de \(0<x\le c.\) Então temos
\(\lim_{m\to\infty}\int_0^{\pi}\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx=2f_+\left(0\right)\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy\)
Observações preliminares: pelo exemplo do teorema 456 sabemos que a integral a direita existe. A integral á esquerda existe desde:
\(G\left(x\right)=\)\(\left\{sen\ \left(m+\frac{1}{2}\right)x\ \ para\ 0<x\le\pi\right\}\)ou \(\left\{2m+1,\ \ para\ \ x=0\right\}\) é contínua em \(\left[0\ ,\ \pi\right]\), e, portanto, é integrável de \(0\) para \(\pi\).
Prova: 1) Seja \(f_+\left(0\right)=0\). Deixe \(f\left(x\right)\) ser monótona não decrescente para \(0<x\le c\) (caso contrário, consideramos \(-\ f\left(x\right)\). Seja \(f\left(0\right)=0\); caso contrário, mudamos a definição de \(f\left(x\right)\) a \(0\) ( o que não afeta a hipótese ou a conclusão.)
Seja \(\delta>0\)dado. Escolha um \(\epsilon\) tal que \(0<\epsilon<c,\ 0\le f\left(\epsilon\right)<\delta.\) Pelo teorema 405, existe para cada \(m>0\) um \(\eta\) ( dependendo de \(\delta\) e \(m\)) tal que \(0\le\eta\le\epsilon,\) \(\int_0^{\epsilon}f\left(x\right)\frac{sen\ \left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx=\int_0^{\epsilon}f\left(x\right)G\left(x\right)=f\left(\epsilon\right)\int_{\eta}^{\epsilon}G\left(x\right)dx=\) \(f\left(\epsilon\right)\int_{\eta}^{\epsilon}\frac{sen\ \left(m\ +\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx=\ 2f\left(\epsilon\right)\int_{\eta\left(m+\frac{1}{2}\right)}^{\epsilon\left(m+\frac{1}{2}\right)}\frac{sen\ y}{y}dy.\) desde que \(\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy\) converge, temos para uma constante universal adequada \(p\) que \(\left|\int_0^w\frac{sen\ y}{y}dy\right|<p\ \) para \(w\ge0,\) de modo que para \(0\le a\le b\) temos \(\left|\int_a^b\frac{sen\ y}{y}dy\right|=\left|\int_0^b\frac{sen\ y}{y}dy-\int_0^a\frac{sen\ y}{y}dy\right|<2p\) de modo que \(\left|\int_0^{\epsilon}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\right|\le2f\left(\epsilon\right),\ 2p<4p\delta\). Portanto, \(\frac{f\left(x\right)}{\frac{x}{2}}\) é devidamente integrável em \(\left[\epsilon,\pi\right]\). Temos pelo teorema 476 que para um \(m_0\) adequado (dependendo de \(\epsilon\) e de \(\delta\)) e para \(m\ge m_0\)
\(\left|\int_{\epsilon}^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\right|<\delta\) de modo a \(\left|\int_0^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\right|<\left(4p+1\right)\delta.\) Portanto, como afirmamos, temos: \(\lim_{m\to\infty}\int_0^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx=0\)
2) No caso geral, segue que de 1), aplicado a \(f\left(x\right)-f_+\left(0\right)\) em vez de \(f\left(x\right)\), que \(\int_0^{\pi}\left(f\left(x\right)-f_+\left(0\right)\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\ \rightarrow\ 0\), Mas nós temos \(\int_0^{\pi}f_+\left(0\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\ =\ 2f_+\left(0\right)\int_0^{\pi\left(m+\frac{1}{2}\right)}\frac{sen\ y}{y}dy\ \rightarrow\ \) \(2f_+\left(0\right)\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy,\ \) de modo que
\(\int_0^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\frac{x}{2}}dx\ \rightarrow\ 2f_+\left(0\right)\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy.\)
3) Seja \(f\left(x\right)\) corretamente integrável de \(-\pi\) para \(\pi\), seja \(0<c\le\pi,\) e deixe \(f\left(x\right)\) ser monótona para \(-c\le x<0\) e para \(0<x\le c\) (não necessariamente no mesmo sentido para ambos os casos.) Seja \(a_n\) definido por (1), então nós temos \(\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{f_-\left(0\right)+f_+\left(0\right)}{2}\)
Prova: para \(m>0\) inteiro, temos \(sen\ \frac{x}{2}\left(1+2\sum_{n=1}^m\cos nx\right)=sen\ \frac{x}{2}+\sum_{n=1}^m\left(-sen\left(n-\frac{1}{2}\right)x+sen\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)=\)
\(sen\ \left(m+\frac{1}{2}\right)x,\) e, portanto, para \(0<\left|x\right|<2\pi\) nós temos \(1+2\sum_{n=1}^m\cos\ nx=\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}\) Portanto, nós temos \(\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^ma_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\left(1+2\sum_{n=1}^m\cos\ nx\right)dx=\) \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}dx=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}dx\ +\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi}f\left(-x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}dx\), a configuração \(h\left(x\right)=\left\{\frac{1}{\frac{x}{2}}-\frac{1}{sen\ \frac{x}{2}}\ para\ 0<x\le\pi;\ 0\ para\ x=0\right\}\) Nós temos que \(h\left(x\right)\)é contínua em \(\left[0,\pi\right]\ \)desde que \(\left(\leftarrow\right)\lim_{x\to0}h(x)=\lim_{x\to0}\left(\frac{sen\ \frac{x}{2}-\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}\ .\ \frac{\frac{x}{2}}{sen\ \frac{x}{2}}\right)=0.1=0\), portanto, pelo teorema 476, temos \(\int_0^{\pi}f\left(x\right)h\left(x\right)sen\ \left(m+\frac{1}{2}\right)x\ dx\ \rightarrow\ 0\ e\ \int_0^{\pi}f\left(-x\right)h\left(x\right)sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x\ dx\ \rightarrow 0\), daí pelo teorema 477, temos \(\int_0^{\pi}f\left(x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}dx\rightarrow2f_+\left(0\right)\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy\) e \(\int_0^{\pi}f\left(-x\right)\frac{sen\left(m+\frac{1}{2}\right)x}{sen\ \frac{x}{2}}dx\rightarrow\ 2f_-\left(0\right)\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy\), consequentemente \(\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{f_-\left(0\right)+f_+\left(0\right)}{2}\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy\). Esta última integral pode ser obtida configurando \(f\left(x\right)=1\). Então nós temos \(\frac{1}{2}a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}dx=1,\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\ nx\ dx=\frac{1}{\pi}\left\{\frac{sen\ y}{y}\right\}_{_{-\pi}}^{^{\pi}}=0\ para\ n>0.\) Portanto nós temos \(1=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy,\ \int_0^{\infty}\frac{sen\ y}{y}dy=\frac{\pi}{2}\).
4) Seja \(f\left(x\right)\) corretamente integrável de\(-\pi\ para\ \pi\), seja \(c>0.\) Deixa-se \(-\pi<\xi<\pi\) e seja \(f\left(x\right)\) moótona em \(\xi-c\le x<\xi\) e em \(\xi<x\le c+\xi,\ \) ou, deixe \(\xi=-\pi\) e seja \(f\left(x\right)\) monónotona em \(\pi-c\le x<\pi\) e em \(-\pi<x\le-\pi+c.\) Sejam \(a_{n,\ }b_n\) definidos por (1). Então nós temos: \(\frac{1}{2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_n\cos\ n\xi\ +\ b_nsen\ n\xi\right)=\)
\(\left\{\frac{f_-\left(\xi\right)+f_+\left(\xi\right)}{2}\ para\ -\pi<\xi<\pi;\ \frac{f_-\left(\pi\right)+f_+\left(-\pi\right)}{2}\ para\ \ \xi=-\pi\ \right\}\).
Prova: deixe \(c\) ser \(<\pi\) e seja tão pequeno que dois intervalos de monotonicidade estejam em \(-\pi<x<\pi.\) Deixe \(f\left(x\right)\) ter o período \(2\pi\); pois de outro modo nós mudamos a definição, e sempre definimos \(f\left(x\right)\) de tal maneira que é do período \(2\pi,\) mantendo a antiga definição em \(-\pi\le x\le\pi.\) Isso não afeta a hipóteseou a conclusão. O último então lê simplesmente \(\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\ n\xi\ +b_nsen\ n\xi\right)=\frac{f_-\left(\xi\right)+f_+\left(\xi\right)}{2}.\) Agora \(F\left(x\right)=f\left(x+\xi\right)\), (no lugar de \(f\left(x\right)\)), satisfaz as hipóteses do teorema 478 concernentes a \(f\left(x\right)\). No lugar de \(\pi a_n\) obtemos \(\int_{-\pi}^{\pi}f\left(y+\xi\right)\cos\ ny\ dy=\int_{-\pi+\xi}^{\pi+\xi}\cos\ n\left(x-\xi\right)dx=\int_{-\pi+\xi}^{\pi}+\int_{\pi}^{\pi+\xi}=\) \(\int_{-\pi+\xi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ n\left(x-\xi\right)dx+\int_{-\pi}^{-\pi+\xi}f\left(y+2\right)\cos\ n\left(y+2\pi-\xi\right)dy=\) \(\int_{-\pi+\xi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ n\left(x-\xi\right)dx+\int_{-\pi}^{-\pi+\xi}f\left(y\right)\cos\ n\left(y-\xi\right)dy=\)
\(\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ n\left(x-\xi\right)dx=\)
\(\cos\ n\xi\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ nx\ dx\ +sen\ n\xi\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)sen\ nx\ dx=\)
\(\pi\left(a_n\cos\ n\xi+b_n\ sen\ n\xi\right).\) Portanto, temos pelo teorema 478 que \(\frac{f_-\left(\xi\right)+f_+\left(\xi\right)}{2}=\frac{F_-\left(0\right)+F_+\left(0\right)}{2}=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\ n\xi\ +b_nsen\ n\xi\right).\)
Exemplo: \(f\left(x\right)=x\ em\ \left[-\pi,\ \pi\right]\ \)
Nós temos que : \(\pi a_n=\int_{-\pi}^{\pi}\cos\ nx\ dx\ =\ \int_0^{\pi}x\cos\left(nx\right)dx\ +\ \int_{-\pi}^0x\cos\left(nx\right)dx=\) \(\int_0^{\pi}x\ \cos\ nx\ dx-\ \int_0^{\pi}y\cos\ ny\ dy=0,\) \(\pi b_{n_{ }}=\int_{-\pi}^{\pi}x\ sen\ nx\ dx=\left\{-x\frac{\cos\ nx}{n}\right\}_{_{-\pi}}^{^{\pi}}+\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\ nx\ dx=-\frac{2\pi\left(-1\right)^n}{n}\), por isso, temos para \(-\pi<x<\pi\) que \(x=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^nsen\ nx}{n}=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sen\ n\left(x+\pi\right)}{n}\). Para \(x=-\pi\) cada termo do lado direito é \(0\), o que está de acordo com o teorema 479, o que afirma que o valor do lado direito é: \(\frac{f_-\left(\pi\right)+f_+\left(-\pi\right)}{2}=\frac{\pi+\left(-\pi\right)}{2}=0\).
Se \(x\) for substituído por \(x-\pi\) nós obtemos :\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{sen\ nx}{n}=\left\{0\ para\ x=0;\ \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\ para\ 0<x<2\pi\right\}\ \)
A afirmação 1) da introdução está contida no teorema que acabamos de ver, como um caso muito especial, já que \(-\pi\le\xi<\pi\) é suficiente por causa da periodicidade, pois para cada um desses \(\xi\) existe um \(c\) no sentido do teorema que acabamos de ver e como o lado direito da igualdade do teorema acima é \(f\left(\xi\right)\) por causa da continuidade e, finalmente, a segunda afirmação da introdução!
Nós não temos \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\ nx\ +\ b_n\ sen\ nx\right)\) para toda função contínua \(f\left(x\right)\) tendo o período \(2\pi\) onde \(a_n\ e\ b_n\) são determinados por (1).
Prova: se \(n\ e\ v\) são inteiros \(\ge0\) nós definimos \(A_{v,n}=\int_0^{\pi}2sen\left(v+\frac{1}{2}\right)x\cos\ nx\ dx\)
Então nós temos:
\(\left(2\right)\ \ A_{v,n}=\int_0^{\pi}\left(sen\left(v+\frac{1}{2}\right)x+sen\left(v+\frac{1}{2}-n\right)x\right)dx=\) \(\frac{1}{v+\frac{1}{2}+n}\ +\ \frac{1}{v+\frac{1}{2}-n}=2\frac{v+\frac{1}{2}}{\left(v+\frac{1}{2}\right)^2}\left\{>0\ para\ n\le v;\ <0\ para\ n>v\right\}\).
Portanto; temos para \(m>0\) inteiro que \(\frac{1}{2}A_{v,0}+\sum_{n=1}^mA_{v,n}=\sum_{n=-m}^m\frac{1}{v+\frac{1}{2}+n}=\sum_{n=m-2v}^m\frac{1}{v+\frac{1}{2}+n}\rightarrow0\ \)
quando \(m\rightarrow\infty.\)
Consequentemente \(\frac{1}{2}A_{v,0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{v,n}=0,\) de modo que por (2), temos para cada inteiro \(m>0\) que \(S_{v,m}=\frac{1}{2}A_{v,0}+\sum_{n=1}^mA_{v,n}>0.\ \) Em particular, temos para \(v\ge1\) que \(S_{v,v}=\frac{1}{2}A_{v,0}+\sum_{n=1}^vA_{v,n}>\sum_{n=1}^v\frac{1}{v+\frac{1}{2}-n}>\sum_{n=1}^v\frac{1}{v+1-n}=\) \(\sum_{k=1}^v\frac{1}{k}>\int_1^v\frac{dy}{y}=\ln v\).
Agora vamos definir:\(f\left(x\right)=\sum_{h=1}^{\infty}\frac{sen\left(\left(2^{h^2}+1\right)\frac{\left|x\right|}{2}\right)}{h^2}\ para\ -\pi\le x\le\pi.\) A série converge uniformemente, já que \(\left|sen\right|\le1;\) portanto, representa uma função contínua em \(\left[-\pi,\ \pi\right]\). Nós temos \(f\left(-\pi\right)=f\left(\pi\right).\)
Se estendermos a definição de \(f\left(x\right)\) em todos os lugares, tornando-a periódica com o período \(2\pi,\) então \(f\left(x\right)\)é contínua em todos os lugares \(\sum_{h=1}^{\infty}\frac{sen\left(\left(2^{h^2}+1\right)\frac{x}{2}\right)\cos\ nx}{h^2}\left(=f\left(x\right)\cos\ nx\right)\) converge uniformemente em \(\left[0,\pi\right]\ \) para cada \(n\ge0\) portanto, \(\left|sen.\cos\right|\le1\), disso nós temos \(\pi a_n=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\ nx\ dx=2\int_0^{\pi}f\left(x\right)\cos\ nx\ dx=\)
\(\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{h^2}\int_0^{\pi}2sen\left(\left(2^{h^2}+1\right)\frac{x}{2}\right)\cos\ nx\ dx=\)\(\) \(\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{h^2}A_{2^{h^2}-1,n}\), daí, para \(m>0\ e\ k>0\ \) inteiros, temos que:\(S_m=\ \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^ma_k=\frac{1}{\pi}\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{h^2}S_{2^{h^2}-1,m}>\frac{1}{\pi}.\frac{1}{k^2}S_{2^{k^2}-1,m}\) de modo que para cada inteiro \(k>0,\ S_{2^{k^2}-1}>\frac{1}{\pi}.\frac{1}{k^2}S_{2^{k^2}-1,2^{k^2}-1}>\frac{1}{\pi}.\frac{1}{k^2}\ln\left(2^{k^2}-1\right)=\frac{k^3-1}{k^2}.\frac{\ln2}{\pi}\). Portanto, \(S_m\) não está limitado, logo \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\ \left(n.0\right)+b_nsen\left(n.0\right)\right)\ \) diverge.