Solución.
1. Utilizar coordenadas polares.
x= 300 cos 30° mm.
y= 300 sin 30° mm.
2. Definir el elemento diferencial.
dL= 300 d\(\theta\)
3. Conocer los limites de integración.
Aquí se utiliza una regla de 3.
Como 180°= \(\pi\)
120°= ?
\(\frac{120°}{180°}=\frac{2}{3}\pi\)
entonces los limites de integración van de:
-120° a 120° ó \(-\frac{2}{3}\pi\ \) a\(\frac{2}{3}\pi\)
4. Las coordenadas del centroide están ubicadas en:
X= 300 cos 30° mm.
Y= 300 sin 30° mm.
5. Ahora calculamos las ecuaciones para el centroide de una línea \(\overline{x}\)
\(\overline{x}=\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(300\ \cos\ \theta\right)300\ d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}300\ d\theta}\)\(=\frac{90,000\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\cos\ \theta\right)\ d\theta}{300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)\(=\frac{300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\cos\ \theta\right)\ d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ d\theta}\)
\(\)\(\) Como la integral de cos es sin sustituimos en cada uno de los limites:
\(=\frac{300\ \left[\sin\ \theta\right]}{\ \left[\theta\right]}\)\(=\frac{300\left(\sin\ \frac{2}{3}\pi-\left(\sin-\frac{2}{3}\pi\right)\ \right)}{\left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}\)
Con la ley de los signos se hace positivo lo de arriba y lo de abajo y queda lo siguiente:
\(=\frac{300\left(\sin\ \frac{2}{3}\pi+sen\ \frac{2}{3}\pi\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)}\)\(=\frac{519.6152}{\frac{4}{3}\pi}\)
Aquí aplicamos la ley de la tortilla y subimos el 3 para arriba y pasa multiplicando a los 519.6152 y se divide entre 4 π :
\(\overline{x}=\frac{3\left(519.6152\right)}{4\pi}\)
y esto es igual a:
\(\overline{x}=124.048\)
Ahora calculamos las ecuaciones para \(\overline{Y}\).
\(\overline{Y}=\frac{\int_L^{ }Ỹ\ \ \ dL}{\int_L^{ }\ dL}\)\(=\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(300\ \sin\ \theta\right)300\ d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}300\ d\theta}=\frac{90,000\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\sin\ \theta\right)d\theta}{300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ d\theta}=\frac{300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\sin\ \theta\right)\ d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)
Como la integral de sin es -cos sustituimos en cada uno de los limites:
\(=\frac{300\left[-\cos\ \theta\right]}{\left[\theta\right]}\) \(=\frac{300\left(-\cos\ \frac{2}{3}\pi-\left(-\cos\ \left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{ }\pi\right)\right)}\)
\(\)Como -cos 2/3 π =0.5 y -cos -2/3 π =0.5 entonces restado 0.5-0.5=0 multiplicado por 300=0, por lo que nos queda de la siguiente manera:
\(\overline{Y}=\frac{0}{\frac{4}{3}\pi}=0\)
\(\overline{Y}=0\)
\(\)Nota.
No pude ponerle los limites para evaluar en los corchetes, por eso no aparecen en esa parte.