Para este problema también necesitaremos 2 ecuaciones: La de equilibrio y del momento.
\(\sum_{}^{}\)\(F=0\)
\(PAD+PBC=60\ KN\)
\(\sum_{}^{}\)\(MA=0\)
\(-\left(60\ KN\right)\left(2\ m\right)+PBC\left(6\ m\right)=0\)
Despejamos PBC de la ecuación 2
\(PBC=\frac{\left(60\ KN\right)\left(2\ m\right)}{6\ m}=20\ KN\)
Ahora si sustituimos en la formula
\(\delta B=\frac{PL}{AE}=\frac{\left(20x10^{3\ }N\right)\left(3\ m\right)}{\left(2x10^{-3}m^2\right)\left(60x10^9Pa\right)}=5\times10^{-4}\approx0.5\ mm\)
Problema 3
La formula para la carga critica de una columna fue derivada en 1757 por Leonard Euler. El análisis de Euler se bajo en la ecuación diferencial de la curva elástica:
\(\frac{d^2v}{dx^2}+\frac{P}{EI}=0\)
La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea con constantes coeficientes. La solución, que se puede verificar por sustitución directa es:
\(v=C1\ \sin\left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)+C2\ \cos\left(\sqrt{\frac{P}{EI}x}\right)\)
Las constantes de C1 y C2 estan determinadas por las restricciones. Impuesto por los soportes:
1. vIx= 0 = 0, cuyo rendimientos C2=0
2. vIx= L = 0, resultado en:
\(0=C1\sin\sqrt{\frac{PL^2}{EI}}\)
La ecuacion anterior puede satisfacerse con C1=0, pero esta solucion no es valida. Interesante porque representa el caso trivial \(P=v\ =0\). Otras soluciones son \(\sqrt{\frac{PL^2}{EI}=\ 0,}\pi,\ 2\pi,\ 3\pi...\) o bien:\(\)
\(P=n^2\ \frac{\pi^2EI}{L^2}\ \left(n=1,2,3,4..\right)\)