\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{fullpage}
\usepackage{setspace}
\usepackage{parskip}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[section]{placeins}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{breakcites}
\usepackage{lineno}
\usepackage{hyphenat}





\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\usepackage[colorlinks = true,
            linkcolor = blue,
            urlcolor  = blue,
            citecolor = blue,
            anchorcolor = blue]{hyperref}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\@combinedblfloats{\box\@outputbox}{\unvbox\@outputbox}{}{%
  \errmessage{\noexpand\@combinedblfloats could not be patched}%
}%
\makeatother


\usepackage{natbib}




\renewenvironment{abstract}
  {{\bfseries\noindent{\abstractname}\par\nobreak}\footnotesize}
  {\bigskip}

\titlespacing{\section}{0pt}{*3}{*1}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*2}{*0.5}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*1.5}{0pt}


\usepackage{authblk}


\usepackage{graphicx}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabulary}
\usepackage{booktabs,array,multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\providecommand\citet{\cite}
\providecommand\citep{\cite}
\providecommand\citealt{\cite}
% You can conditionalize code for latexml or normal latex using this.
\newif\iflatexml\latexmlfalse
\providecommand{\tightlist}{\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}%

\AtBeginDocument{\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.PDF,.eps,.EPS,.png,.PNG,.tif,.TIF,.jpg,.JPG,.jpeg,.JPEG}}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,ngerman,spanish]{babel}



\usepackage{float}



\usepackage[margin=1.5in]{geometry}






\begin{document}

\title{Informe de soluci\selectlanguage{ngerman}ón de problemas sobre centroides~~~~\selectlanguage{spanish}}



\author[1]{Guadalupe De_Leon_Ibarra}%
\affil[1]{Instituto Tecnológico Superior Zacatecas Occidente}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 08, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup




\onehalfspacing





\sloppy


Problema 1\selectlanguage{spanish}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/Centroide/Centroide}
\caption{{Centroide
{\label{972719}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

\par\null\par\null\par\null

Para poder resolver este problema, vamos a usar coordenadas polares, las
cuales quedan de la siguiente manera:

\(x=R\ \cos\ \theta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\ R\ sen\ \theta\)

Decretamos el valor de dL.

\(dL=R\ d\theta\)

Observando la imagen de arriba nos damos cuenta que los limites de
integraci\selectlanguage{ngerman}ón van desde~\(-\frac{2}{3}\pi\ \text{hasta}\ \frac{2}{3}\pi\) que es a lo que equivale decir
que va de -120° a 120°. Y R=300mm que mas adelante nos servirá para
sustituir esa R.

Ya teniendo los elementos necesarios, aplicamos la formula
correspondiente.

\(\overline{x}=\frac{\int_a^bx\ dL}{\int_a^b\ dL}\)

\(\overline{x}=\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(R\ \cos\theta\right)\ Rd\theta\ }{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ Rd\theta}\)

Luego colocamos las R fuera del integral~

\(\overline{x}=\frac{R^2\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\cos\theta\right)\ d\theta\ }{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ d\theta}\)

Quedando así podemos eliminar el cuadrado de la R del numerador con la R
del denominador. Por lo que queda\ldots{}

\(\overline{x}=\frac{R^{ }\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\cos\theta\right)\ d\theta\ }{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ d\theta}\)

Por lo que procedemos a integrar

\(\overline{x}=\frac{R^{ }\left(sen\theta\right)\ }{\theta}\)

Ahora sustituimos los limites de integracion restandole el mas negativo
al mas positivo

\(\overline{x}=\frac{R^{ }\left(sen\frac{2}{3}\pi\ -\left(sen-\frac{2}{3}\pi\right)\right)\ }{\left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}\)\(\overline{x}=R\left(sen\ \frac{2}{3}\pi\ -\left(sen-\frac{2}{3}\pi\right)\right)\ \div\ \left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)\)

\(\overline{x}=\frac{R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)}{\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi}\ \)

\(\overline{x}=\frac{R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi}\ \)

\(\overline{x}=\frac{R\left(\sqrt{3}\right)}{\frac{4}{3}\pi}\)

Quedando así procedemos a realizar la ley de la tortilla, quedando así:

\(\overline{x}=\frac{\left(3\sqrt{3}R\right)}{4\pi}\)

Luego sustituimos el valor de~\(R=300\)~ y el
valor~\(\pi=180\)

\(\overline{x}=\frac{\left(3\sqrt{3}\cdot300\right)}{\left(4\cdot180\right)}\)

\(\overline{x}=124.049\ \)

Ahora utilizaremos el mismo procedimiento para obtener el valor
de~\(\overline{y}\). Sustituimos directamente el valor de y en la
formula

\(\overline{y}=\frac{\int_a^by\ dL}{\int_a^b\ dL}\)

\(\overline{y}=\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(R\ sen\theta\right)\ Rd\theta\ }{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ Rd\theta}\)

Luego colocamos las R fuera del integral~

\(\overline{y}=\frac{R^2\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(\cos\theta\right)\ d\theta\ }{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\ d\theta}\)

Quedando así podemos eliminar el cuadrado de la R del numerador con la R
del denominador. Por lo que queda\ldots{}

\(\overline{y}=\frac{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}sen\theta\ d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)

Por lo que procedemos a integrar

\(\overline{y}=\frac{R\left(-\cos\theta\right)}{\theta\ }\)~~ donde va evaluado de \(-\frac{2}{3}\pi\ \text{hasta}\ \frac{2}{3}\pi\)

Ahora sustituimos

\(\overline{y}=\frac{R\left(-\cos\ \frac{2}{3}\pi\ -\left(-\cos-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}\)

\(\overline{y}=\frac{R\left(\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)}\)

\(\overline{y}=\frac{R\left(0\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)}\)

\(\overline{y}=0\)

C (124.049, 0)

\par\null\par\null\par\null

\selectlanguage{spanish}
\FloatBarrier
\end{document}

