\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{fullpage}
\usepackage{setspace}
\usepackage{parskip}
\usepackage{titlesec}
\usepackage[section]{placeins}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{breakcites}
\usepackage{lineno}
\usepackage{hyphenat}





\PassOptionsToPackage{hyphens}{url}
\usepackage[colorlinks = true,
            linkcolor = blue,
            urlcolor  = blue,
            citecolor = blue,
            anchorcolor = blue]{hyperref}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\@combinedblfloats{\box\@outputbox}{\unvbox\@outputbox}{}{%
  \errmessage{\noexpand\@combinedblfloats could not be patched}%
}%
\makeatother


\usepackage[round]{natbib}
\let\cite\citep




\renewenvironment{abstract}
  {{\bfseries\noindent{\abstractname}\par\nobreak}\footnotesize}
  {\bigskip}

\titlespacing{\section}{0pt}{*3}{*1}
\titlespacing{\subsection}{0pt}{*2}{*0.5}
\titlespacing{\subsubsection}{0pt}{*1.5}{0pt}


\usepackage{authblk}


\usepackage{graphicx}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabulary}
\usepackage{booktabs,array,multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\providecommand\citet{\cite}
\providecommand\citep{\cite}
\providecommand\citealt{\cite}
% You can conditionalize code for latexml or normal latex using this.
\newif\iflatexml\latexmlfalse
\providecommand{\tightlist}{\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}%

\AtBeginDocument{\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.PDF,.eps,.EPS,.png,.PNG,.tif,.TIF,.jpg,.JPG,.jpeg,.JPEG}}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english]{babel}










\begin{document}

\title{Soal PAI A20-Probabilita dan Statistika}



\author[1]{Deli Diana}%
\author[1]{liaylwt}%
\author[1]{Agah D. Garnadi}%
\affil[1]{Affiliation not available}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 08, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup








\sloppy




\part{16 Mei 2017}
\begin{enumerate}
%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Survei dilakukan terhadap 1000 orang dan diketahui bahwa 80 persen orang menyukai olahraga lari dan 60 persen menyukai bersepeda, dan seluruhnya menyukai paling sedikit satu aktivitas tersebut. Berapa peluang seseorang dalam survei ini yang diambil secara acak menyukai bersepeda namun tidak meyukai olahraga lari?\\
A) 0\\
B) 0,1\\
C) 0,2\\
D) 0,3\\
E) 0,4\\

Jawab: \\
$n(L)$ : banyaknya orang yang menyukai olahraga lari\\
$n(S)$ : banyaknya orang yang menyukai olahraga sepeda\\
$n(S-L)$ :banyaknya orang yang menyukai olahraga sepeda namun tidak meyukai olahraga lari \\
$n(L) = 0,8 \cdot 1000= 800$ orang\\
$n(S) = 0,6 \cdot 1000= 600$ orang
\begin{eqnarray*}
n(S-L)=n(S\cap L^C)= 1000-800=200. 
\end{eqnarray*}
Dengan demikian diperoleh
\[P(S-L)=P(S\cap L^C)=\frac{200}{1000}=0,2.\]

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Suatu tes darah menunjukan hasil positif terhadap penyakit tertentu sebesar 95 persen saat penyakit tersebut benar-benar ada, sedangkan 0,5 persen saat tidak ada penyakit tersebut. Satu persen dari populasi ini benar-benar memiliki penyakit. Hitung peluang seseorang memiliki penyakit saat tes darah menunjukkan hasil positif?\\
A) 0,324\\
B) 0,657\\
C) 0,945\\
D) 0,950\\
E) 0,995\\

Jawab:\\
T = memiliki penyakit\\
F = tidak memiliki penyakit\\
$\oplus$ = hasil positif\\
$\ominus$ = hasil negatif\\
$P(\oplus \mid T)= 0,95$\\
$P(\oplus \mid F)= 0,005$\\
$P(T)=0,01$\\
$P(F)= 1- P(T)=0,99$
\begin{eqnarray*}
P(T \mid \oplus) = & \frac{P(\oplus \mid T)P(T)}{P(\oplus \mid T)P(T) + P(\oplus \mid F)P(F)}\\
= & \frac{0,95\cdot 0,01}{0,95\cdot 0,01 + 0,005 \cdot 0,99}\\
= & 0,657
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Studi terhadap kecelakaan mobil menghasilkan data sebagai berikut:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline Tahun Model & Proporsi & Peluang terlibat pada kecelakaan\\
\hline 2010 & 0,16 & 0,05\\
\hline 2011 & 0,18 & 0,02\\
\hline 2012 & 0,20 & 0,03\\
\hline Others & 0,46 & 0,04\\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}
Terjadi kecelakaan pada mobil dengan tahun model antara 2010, 2011, dan 2012. Tentukan peluang tahun model dari mobil yang kecelakaan adalah 2010\\
A) 0,22\\
B) 0,30\\
C) 0,33\\
D) 0,45\\
E) 0,67\\
Jawab:\\
Teorema Bayes:\\
$K$ : mobil yang terlibat kecelakaan\\
$T_i$ : model mobil tahun i
\begin{eqnarray*}
P(B_k\mid A) = & \frac{P(A\mid B_k)P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)P(B_i)}\\
P(T_{2010}\mid K) = & \frac{P(K \mid T_{2010})P(T_{2010})}{P(K \mid T_{2010})P(T_{2010})+P(K \mid T_{2011})P(T_{2011})+P(K \mid T_{2012})P(T_{2012})+P(K \mid T_{Others})P(T_Others)}\\
= & \frac{0,05\cdot 0,16}{0,05\cdot 0,16+0,02\cdot 0,18+0,03\cdot 0,2+0,04\cdot 0,46}\\
= & 0,22
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Misalkan X menyatakan bilangan acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:\\
\[ f(x)=  \left\{
\begin{array}{ll}
      \frac{\mid x \mid}{10} & ,-2\leq x\leq 4 \\
      0 & ,\text{lainnya}
\end{array} 
\right. \]\\
Hitung nilai ekspektasi dari $X^2$\\
A) 6,8\\
B) 6,4\\
C) 4,0\\
D) 1,6\\
E) 0,4\\

Jawab:\\
\begin{eqnarray*}
E(X^2) = & \int \limits_{-\infty}^{\infty }{x^2 f(x)} \,dx\\
= & \int \limits_{-2}^{4}{x^2 \frac{\mid x \mid}{10}} \,dx\\
= & \int \limits_{-2}^{0}{x^2 \frac{(-x)}{10}} \,dx + \int \limits_{0}^{4}{x^2 \frac{x}{10}} \,dx\\
= & -\int \limits_{-2}^{0}{\frac{x^3}{10}} \,dx + \int \limits_{0}^{4}{\frac{x^3}{10}} \,dx\\
= & 6,8
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 4 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang Diskrit =============================
\item Misalkan X menyatakan peubah acak berdistribusi Poisson dengan $E[X] = ln 2$. Hitung $E[cos(\pi X)]$!\\
A) 0\\
B) 0,25\\
C) 0,50\\
D) 1\\
E) 2 ln2\\

Jawab:\\
\begin{eqnarray*}
E(x)= \mu = ln 2\\
p_X(x) = & \frac{e^{-\mu} \mu^x}{x!}\\
= & \frac{e^{-ln2} (ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{e^{ln2^{-1}} (ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{2^{-1} (ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} \frac{(ln2)^x}{x!}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
E[cos(\pi X)] = & \sum_{i=1}^{\infty} cos(\pi x) p_X(x)\\
= & \sum_{i=1}^{\infty} cos(\pi x)\frac{1}{2} \frac{(ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} (-1)^x \frac{(ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{((-1)ln2)^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(ln2^{-1})^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(ln \frac{1}{2})^x}{x!}\\
= & \frac{1}{2} e^{ln \frac{1}{2}}\\
= & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
= & \frac{1}{4} = 0,25
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Satu grup mahasiswa mendapatkan surat ijin mengemudi pertama. Diketahui 50 persen dari grup mahasiswa tersebut adalah pengemudi berisiko rendah, 30 persen pengemudi berisiko sedang, dan sisanya adalah pengemudi berisiko tinggi. Karena tidak ada catatan mengemudi sebelumnya, maka perusahaan asuransi memandang setiap pengemudi dapat dipilih secara acak dari grup tersebut. Bulan ini, perusahaan asuransi tersebut menerbitkan empat polis baru untuk grup mahasiswa tersebut. Berapa peluang dari empat mahasiswa tersebut terdapat sedikitnya 2 pengemudi berisiko tinggi lebih banyak dibandingkan pengemudi beririsiko rendah?\\
A) 0,006\\
B) 0,012\\
C) 0,018\\
D) 0,049\\
E) 0,073\\

Jawab:\\
T : pengemudi berisiko tinggi\\
S : pengemudi berisiko sedang\\
R : pengemudi berisiko rendah\\
$P(R)=0,5$; $P(S)=0,3$; $P(R)=0,2$\\
\begin{eqnarray*}
P(T \geq 2) = & P(T\cap T\cap S\cap S)+P(T\cap T\cap T\cap S)+P(T\cap T\cap T\cap R)+P(T\cap T\cap T\cap T)\\
= & P(T)^2 P(S)^2 + P(T)^3 P(S) + P(T)^3 P(R) + P(T)^4\\
= & 0,2^2 \cdot 0,3^2 + 0,2^3 \cdot 0,3 + 0,2^3 \cdot 0,5 + 0,2^4\\
= & 0,0116 \approx 0,012
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Misalkan X menyatakan besar klaim operasi dan Y menyatakan besar klaim rumah sakit. Seorang aktuaris menggunakan sebuah model dimana $E(X)=5$; $E(X^2)=27,4$;$E(Y)=7$; $E(Y^2)=51,4$; dan $Var(X+Y)=8$. Misalkan $C1=X+Y$ menyatakan besar kombinasi klaim sebelum dikenakan biaya tambahan sebesar 20 persen pada porsi klaim rumah sakit, dan misalkan C2 menyatakan kombinasi klaim setelah dikenakan biaya tambahan tersebut. Hitung Cov(C1.C2)\\
A) 8,80\\
B) 9,60\\
C) 9,76\\
D) 11,52\\
E) 12,32\\

Jawab:\\
$C1=X+Y\rightarrow C2=1,2(X+Y)$\\
$E(C1)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5+7=12$\\
$E(C2)=E[1,2(X+Y)]=1,2E(X+Y)=1,2E(C1)=1,2(12)=14,4$
\begin{eqnarray*}
Var(X+Y) = & E[(X+Y-E(X+Y))^2]\\
8 = & E[(X+Y)^2]-[E(X+Y)]^2\\
8 = & E[X^2+2XY+Y^2]-[E(X)+E(Y)]^2\\
8 = & E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-[E(X)^2+2E(X)E(Y)+E(Y)^2]\\
8 = & 27,4+2E(XY)+51,4-(5^2+2\cdot 5\cdot 7+7^2)\\
8 = & 2E(XY)+78,8-144\\
2E(XY) = & 73,2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Cov(C1,C2) = & E[(C1-E(C1))(C2-E(C2))]\\
= & E(C1C2)-E(C1)E(C2)\\
= & E((X+Y)\cdot 1,2(X+Y))-(12\cdot 14,4)\\
= & E(1,2(X+Y)^2)-172,8\\
= & E(1,2(X^2+2XY+Y^2)-172,8\\
= & 1,2(E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2))-172,8\\
= & 1,2(27,4+73,2+51,4)-172,8\\
= & 9,6
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\part{21 November 2017}
\begin{enumerate}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Suatu sampel berukuran $n = 10$, memiliki variansi sampel $4,8$ dan $\overline{x}=0.5$. Hitung $\Sigma{x^2}$!\\
A) 5,08\\
B) 45,7\\
C) 48,7\\
D) 68,2\\
E) 25\\

Jawab:
\begin{eqnarray*}
\overline{x} = & \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{n}\\
0,5 = & \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10}\\
\sum_{i=1}^{10}{x_i} = & 5
\end{eqnarray*} 
\begin{eqnarray*}
s^2 = & \frac{\sum_{i=1}^{10}({x_{i}-\overline{x}})^3}{n-1}\\
s^2 = & \frac{n\sum_{i=1}^{10}{x_{i}}^2-(\sum_{i=1}^{10}{x_i})^2}{n(n-1)}\\
4,8 = & \frac{10\sum_{i=1}^{10}{x_{i}}^2-5^2}{10(10-1)}\\
\sum_{i=1}^{10}{x_{i}}^2 = & 45,7
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Perhatikan tabel berikut. Cari nilai k sehingga nilai koefisien korelasi linear r tepat nol!\\
    \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline x & 2 & 4 & 7\\
\hline y & 3 & 5 & k\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
A) 8\\
B) 3\\
C) 4,33\\
D) 3,25\\
E) 1,41\\

Jawab :
\begin{eqnarray*}
r = & \frac{n\sum_{i=1}^3 x_i y_i - \sum_{i=1}^3 x_i \sum_{i=1}^3 y_i}{\sqrt{n\sum_{i=1}^3 x_i^2 - (\sum_{i=1}^3 x_i)^2} \sqrt{n\sum_{i=1}^3 x_i^2 - (\sum_{i=1}^3 y_i)^2}}\\
0 = & \frac{3(26+7k) - 13(8+k)}{\sqrt{3(69) - 13^2} \sqrt{3(34+k^2) - (8+k)^2}}\\
0 = & \frac{8k-26}{\sqrt{38(3(34+k^2)-(8+k)^2)}}\\
0 = & 8k-26\\
k = & 3,25
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Hitung nilai $\Sigma({y-\widehat{y}})^2$, jika diketahui $\widehat{y}=-0,6+3,2x$ adalah persamaan garis yang paling sesuai untuk data berikut:\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline y & 5 & 1 & 13 & 9 & 17\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
A) -96\\
B) -6\\
C) 0\\
D) 57,6\\
E) 64,8\\

Jawab :\\
    \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline y & 5 & 1 & 13 & 9 & 17\\
\hline $\widehat{y}$ & 2,6 & 5,8 & 9 & 12,2 & 15,4\\
\hline $(y-\widehat{y})^2$ & 5,76 & 23,04 & 16 & 10,24 & 2,56\\
\hline
\end{tabular} sehingga $\Sigma({y-\widehat{y}})^2=57,6$\\
\end{center}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Seorang mahasiswa melakukan perhitungan rata-rata suatu sampel tertentu, didapat nilai 40. Setelah menemukan hasil, mahasiwa tersebut menyadari bahwa dia lupa memasukkan angka 36 pada sampel tersebut. Ketika angka 36 dimasukkan, didapat nilai rata-rata menjadi 39,5. Berapa ukuran sampel sebelum angka 36 dimasukkan?\\
A) 7\\
B) 8\\
C) 9\\
D) 10\\
E) Tidak ada jawaban yang tepat\\

Jawab :\\
\begin{eqnarray*}
\overline{x_0} = & \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\\
40 = & \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\\
\sum_{i=1}^n x_i = & 40n\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\overline{x} = & \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)+x_{n+1}}{n+1}\\
39,5 = & \frac{40n+36}{n+1}\\
39,5n+39,5 = & 40n+36\\
n = & 7
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : Statistika =============================
\item Diketahui nilai data suatu percobaan adalah 70 dan 100. Tambahkan 3 nilai data ke dalam sampel tersebut sehingga sampel tersebut memiliki rata-rata 95 dan modus 80. Cari nilai salah satu dari tiga data tambahan!\\
A) 35\\
B) 40\\
C) 65\\
D) 115\\
E) 145\\

Jawab : \\
\begin{eqnarray*}
\overline{x} = & \frac{\sum_{i=1}^5 x_i}{n}\\
95 = & \frac{70+100+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}\\
305 = & x_{3}+x_{4}+x_{5}
\end{eqnarray*}\\
karena $modus=80$ maka minimal ada dua nilai data yang bernilai modus dan data lainnya memiliki nilai yang berbeda-beda.\\
Misal $x_{3}=x_{4}=80$ maka $305= 80+80+x_{5}\rightarrow x_5=145$

%===================== Materi : BAB 5 Peubah Acak Kontinu dan Sebaran Peluang Kontinu =============================
\item Misalkan X suatu peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan sebagai berikut:\\ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$, untuk $-\infty<x<\infty$\\
Hitung $E[X|X\geq 0]$!\\
A) 1\\
B) $\sqrt{2\pi}$\\
C) 12\\
D) $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$\\
E) 0\\
\\
Jawab: 
\begin{eqnarray*}
E[X|X\geq 0] = & \int \limits_{0 }^{\infty }{xf(x)} \,dx\\
= & \int \limits_{0 }^{\infty }{\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}} \,dx\\
= & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{b \to \infty} \int \limits_{0 }^{b}{x e^{-\frac{x^2}{2}}}\,dx\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}
Misal $u=-\frac{x^2}{2}$ maka $du=-x dx$, $x=0 \rightarrow u=0$, $x=b \rightarrow u=-\frac{b^2}{2}$
\end{center}
\begin{eqnarray*}
E[X|X\geq 0] = & -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{b \to \infty} \int \limits_{0 }^{-\frac{b^2}{2}}{e^u}\,dx\\
= & -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{b \to \infty} e^{-\frac{b^2}{2} - 1}\\
= & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\\
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 4 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang Diskrit =============================
\item X memiliki distribusi diskrit seragam pada bilangan bulat $0,1,2,...,n$ dan Y memiliki distribusi diskrit seragam pada bilangan bulat $1,2,3,...,n$. Cari $Var[X]-Var[Y]$!\\
A) $\frac{2n+1}{12}$\\
B) $\frac{1}{12}$\\
C) 0\\
D) $-\frac{1}{12}$\\
E) $-\frac{2n+1}{12}$\\
\\
Jawab:\\
X $\rightarrow 0,1,2,\ldots,n$ ada $n+1$ bilangan bulat.\\
Y $\rightarrow 1,2,\ldots,n$ ada n bilangan bulat.
\begin{eqnarray*}
Var[X] = & E[X^2]-(E[X])^2\\
= & \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 p_X (x_i)-[\sum_{i=1}^{n+1} x_i p_X (x_i)]^2\\
= & \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 - [\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i]^2\\
= & \frac{1}{n+1} \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}-[\frac{1}{n+1} \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}]^2\\
= & \frac{(n+2)(2n+3)}{6}-[\frac{(n+2)}{2}]^2\\
= & \frac{2n^2+7n+6}{6}-\frac{n^2+4n+4}{4}\\
= & \frac{8n^2+28n+24-(6n^2+24n+24)}{24}\\
= & \frac{n^2 + 2n}{12}\\
\\
\\
Var[Y] = & E[Y^2]-(E[Y])^2\\
= & \sum_{i=1}^{n} y_i^2 p_Y (y_i)-[\sum_{i=1}^{n} y_i p_Y (y_i)]^2\\
= & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - [\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i]^2\\
= & \frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-[\frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2}]^2\\
= & \frac{(n+1)(2n+1)}{6}-(\frac{n+1}{2})^2\\
= & \frac{2n^2+3n+1}{6}-(\frac{n^2+2n+1}{4})^2\\
= & \frac{8n^2+12n+4-(6n^2+12n+6)}{24}\\
= & \frac{n^2 -1}{12}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Var[X]-Var[Y] = \frac{n^2 + 2n}{12}- \frac{n^2 -1}{12} = \frac{2n+1}{12}
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Suatu perusahaan melakukan perhitungan untuk asuransi gempa bumi menggunakan asumsi sebagai berikut:
\begin{itemize}
\item Dalam tahun kalender, paling banyak terjadi gempa bumi satu kali.
\item Dalam tahun kalender, peluang terjadinya gempa bumi adalah 0,05.
\item Banyaknya gempa bumi yang terjadi dalam tahun kalender saling bebas.
\end{itemize}
Menggunakan asumsi perusahaan diatas, hitung peluang terjadinya gempa bumi kurang dari tiga kali dalam periode 20 tahun!\\
A) 0,06\\
B) 0,19\\
C) 0,38\\
D) 0,62\\
E) 0,92\\

Jawab: \\
$\mu =1/tahun \rightarrow \mu =20/20tahun$\\
$p=0,05$\\
$n=20$\\
$x=3$\\
    \begin{eqnarray*}
p_X (x) = & {n\choose x} p^x(1-p)^{n-x}\\
p_X (x<3) = & p_X (x=0)+p_X (x=1)+p_X (x=2)\\
= & {20 \choose 0} 0,05^0 (1-0,05)^{20-0}+ {20 \choose 1} 0,05^1 (1-0,05)^{20-1}+{20 \choose 2} 0,05^2 (1-0,05)^{20-2}\\
= & \frac{20!}{0! 20!} 0,05^0 \cdot 0,95^{20} + \frac{20!}{1! 19!} 0,05^1 \cdot 0,95^{19} + \frac{20!}{2! 18!}  0,05^2 \cdot 0,95^{18} \\
= & 0,9245
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 5 Peubah Acak Kontinu dan Sebaran Peluang Kontinu =============================
\item Misalkan fungsi distribusi X untuk $x>0$ adalah $F(x)=1-\sum_{k=0}^{3} \frac{x^k e^{-x}}{k!}$\\ Apa fungsi kepadatan X untuk $x>0$?\\
A) $e^{-x}$\\
B) $\frac{x^2 e^{-x}}{2}$\\
C) $\frac{x^3 e^{-x}}{6}$\\
D) $\frac{x^3 e^{-x}}{6}-e^{-x}$\\
E) $\frac{x^3 e^{-x}}{6}+e^{-x}$\\
\\
Jawab:\\
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran $F_X$ dan fungsi kepekatan peluang $f_X$, maka berlaku sifat $F'_X (x)=f_X (x)$\\
\begin{eqnarray*}
F_X (x) = & 1-\frac{x^0 e^{-x}}{0!}-\frac{x^1 e^{-x}}{1!}-\frac{x^2 e^{-x}}{2!}-\frac{x^3 e^{-x}}{3!}\\
= & 1-e^{-x}-xe^{-x}-\frac{x^2 e^{-x}}{2}-\frac{x^3 e^{-x}}{6}\\
\\
f_X (x) = & F'_X (x)\\
= & e^{-x}-(e^{-x}-xe^{-x})-(xe^{-x}-\frac{x^2 e^{-x}}{2})-(\frac{-x^2 e^{-x}}{6}-\frac{x^3 e^{-x}}{6})\\
= & \frac{x^3 e^{-x}}{6}
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Kejadian X, Y, dan Z memenuhi persamaan berikut:$X\cap Y'=\oslash$; $Y\cap Z'=\oslash$; $P(X'\cap Y)=a$; $P(Z)=c$. Cari $P(X)$ dalam a,b,dan c!\\
A) $a+b+c$\\
B) $a+b-c$\\
C) $c+b-a$\\
D) $c+a-b$\\
E) $c-b-a$\\
\\
Jawab:\\
$X \cap Y'=\oslash$ maka $X \subseteq Y$\\
$X \cap Z'=\oslash$ maka $Y \subseteq Z$\\
sehingga $X\subseteq Y\subseteq Z$
\begin{eqnarray*}
P(X) = & P(Z)-[P(X' \cap Y)+(p(Y'\cap Z)]\\
= & c-(a+b)\\
= & c-b-a\\
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Suatu perusahaan asuransi memiliki dua lini bisnis: Kendaraan bermotor dan Kebakaran. Seseorang dengan polis asuransi kebakaran dapat menambah perluasan risiko banjir, tapi hanya jika polis tersebut sudah mengandung manfaat kebakaran. Diberikan informasi nasabah perusahaan asuransi tersebut sebagai berikut:
\begin{itemize}
\item 80 persen dari seluruh nasabah memiliki polis asuransi kendaraan bermotor
\item 40 persen dari seluruh nasabah memiliki polis asuransi kebakaran
\item 25 persen nasabah polis asuransi kendaraan bermotor, juga memiliki polis asuransi kebakaran
\item 50 persen nasabah dengan polis asuransi kebakaran juga memiliki asuransi banjir
\item 50 persen dari nasabah dengan manfaat asuransi banjir juga memiliki polis asuransi kendaraan bermotor
\end{itemize}
Dari nasabah dengan polis asuransi kebakaran, berapa bagian yang tidak memiliki manfaat asuransi banjir dan kendaraan bermotor.\\
A) 0,05\\
B) 0,10\\
C) 0,15\\
D) 0,20\\
E) 0,25\\
\\
Jawab:\\
M : nasabah pemilik polis asuransi kendaraan bermotor\\
B : nasabah pemilik polis asuransi kebakaran\\
F : nasabah pemilik polis asuransi banjir\\

$F\subseteq B$\\
$P(M)=0,8$; $P(B)=0,4$\\
$P(M\cap B)=P(M)\cdot P(B)=0,25\cdot 0,8=0,2$\\
$P(B\cap F)=P(B)\cdot P(F)=0,5\cdot 0,4=0,2$\\
$P(F\cap M)=P(F)\cdot P(B\cap F)=0,5\cdot 0,2=0,1$
\begin{eqnarray*}
P(B\cap F'\cap M') = & P(B)-P(B\cap F)-P(B\cap M)+P(M\cap F)\\
= & 0,4-0,2-0,2+0,1\\
= & 0,1
\end{eqnarray*}
$P(B\cap F' \cap M')=0,1 \rightarrow$ 25 persen atau 0,25 dari P(B).

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Seorang asisten aktuaris yang sedang mengamati data statistik tentang kecenderungan tren pembelian asuransi oleh pemilik mobil mendapati beberapa kesimpulan seperti berikut:
\begin{itemize}
\item Pemilik kendaraan ternyata memiliki kecenderungan untuk membeli asuransi perlindungan kecelakaan diri dua kali lebih besar daripada perlindungan orang ketiga
\item Kejadian pembelian asuransi kecelakaan diri ini ternyata saling bebas dengan kejadian pembelian asuransi perlindungan orang ketiga
\item Peluang bahwa seorang pemilik mobil membeli kedua perlindungan tersebut pada waktu yang sama ialah 0,15
\end{itemize}
Hitung peluang bahwa pemilik mobil tidak membeli kedua jenis perlindungan asuransi -- kecelakaan diri dan orang ketiga?\\
A) 0,18\\
B) 0,33\\
C) 0,48\\
D) 0,67\\
E) 0,82\\
\\
Jawab:\\
P : membeli asuransi perlindungan kecelakaan diri\\
K : membeli perlindungan asuransi orang ketiga\\
$P(P)=2P(K)$ dan $P(P \cap K)=0,15$\\
Karena saling bebas maka:
\begin{eqnarray*}
P(P \cap K) = & P(P) P(K)\\
0,15 = & 2P(K) P(K)\\
0,15 = & 2(P(K))^2\\
(P(K))^2 = & 0,075\\
P(K) = & 0,27386\\
P(P) = & 2(P(K)) = 0,54772
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P(P^C\cap K^C) = & P(P^C) P(K^C)\\
= & (1-P(P)) (1-P(K))\\
= & (1-0,54772) (1-0,27386)\\
= & 0,3284 \approx 0,33
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Misalkan A, B, dan C ialah tiga kejadian yang saling bebas secara mutual "mutually independent" yang mana $P(A)= 0,5$,  $P(B)=0,6$ $P(C)=0,1$. Hitung $P(A'\cup B'\cup C)$\\
A) 0,690\\
B) 0,710\\
C) 0,730\\
D) 0,980\\
E) 0,960\\
\\
Jawab:
\begin{eqnarray*}
P(A'\cup B'\cup C) = & 1-P(A \cap B\cap C')\\
= & 1-P(A)P(B)P(C')\\
= & 1-(0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,9)\\
= & 1-0,27\\
= & 0,73\\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\part {22 Mei 2018}
\begin{enumerate}
%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Berikut ini adalah pernyataan mengenai Probabilitas:\\
i.   $Pr(A\cup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A\cap B)$\\
ii.  $Pr(A)=Pr(A\cap E)+Pr(A\cap E^C)$\\
iii. $Pr(A\cup B\cup C)=Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)-Pr(A\cup B)-Pr(A\cup C)-Pr(B\cup C)+Pr(A\cap B\cap C$\\
iv.  $Pr(E^C)=1-Pr(E)$\\
Pilihlah pernyataan yang tidak benar dari beberapa pernyataan tersebut\\
a. i dan ii\\
b. ii dan iii\\
c. ii dan iv\\
d. i , ii, dan iii\\
e. i , ii, iii, dan iv\\

Jawab:\\
\textbf{Bukti (i)}: $A\cup B=A\cup (B \setminus (A\cap B))$ maka A dan $B \setminus (A\cap B)$ adalah dua kejadian yang saling lepas sehingga $P(A\cup B)=P(A)+P(B \setminus (A\cap B))$. $(A\cap B)\subseteq B$ sehingga  $P(B \setminus (A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$. Maka dapat disimpulkan $P(A\cup B)=P(A)+P(B \setminus (A\cap B)) \Leftrightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ maka  \textbf{terbukti}.\\
\textbf{Bukti (ii)}: $A=(A\cap E)\cup (A\cap E^C)$ karena $(A\cap E)$ dan $(A\cap E^C)$ dua kejadian yang saling lepas maka $P(A)=P(A\cap E)+ P(A\cap E^C) \neq P(A)=P(A\cap E)+ P(A\cup E^C)$ maka  \textbf{tidak terbukti}.\\
\textbf{Bukti (iii)}: 
\begin{eqnarray*}
P(\cup_{i=1}^{n} E_i) = & \sum_{i=1}^{n} P(Ei)-\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} P(Ei\cap Ej)+\sum_{i=1}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} P(Ei\cap Ej\cap Ek)- \ldots +(-1)^{n-1} P(Ei\cap Ej\cap Ek\cap \ldots \cap En)\\
= & Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)-Pr(A\cap B)-Pr(A\cap C)-Pr(B\cap C)+Pr(A\cap B\cap C)\\
\neq & Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)-Pr(A\cup B)-Pr(A\cup C)-Pr(B\cup C)+Pr(A\cap B\cap C)
\end{eqnarray*}
maka \textbf{tidak terbukti}.\\
\textbf{Bukti (iv)}: $E\cap E^C$ adalah dua kejadian yang saling lepas maka $E\cap E^C=\emptyset$ dan $E\cup E^C=\Omega$. Maka dapat disimpulkan $Pr(E\cup E^C)=Pr(E)+Pr(E^C)\Leftrightarrow Pr(\Omega)=Pr(E)+Pr(E^C)\Leftrightarrow 1=Pr(E)+Pr(E^C) \Leftrightarrow Pr(E^C)=1-Pr(E)$ maka  \textbf{terbukti}.\\

%===================== Materi : BAB 2 Kombinatorika =============================
\item Terdapat 30 barang yang disusun dalam sebuah array, 6 baris dan 5 kolom, seperti yang terlihat di bawah ini:\\
\begin{center}
$ \begin{array}{rrrrr}
A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5\\
A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10}\\
A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15}\\
A_{16} & A_{17} & A_{18} & A_{19} & A_{20}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} & A_{25}\\
A_{26} & A_{27} & A_{28} & A_{29} & A_{30}\\
\end{array}$
\end{center}\\
Hitunglah ada berapa banyak cara untuk membentuk suatu kelompok yang terdiri dari tiga barang sedemikian sehingga tidak ada barang yang berada dalam baris dan kolom yang sama.\\
a. 200\\
b. 760\\
c. 1.200\\
d. 4.560\\
e. 7.200\\

Jawab:\\
Misal dalam satu kelompok terdiri dari posisi1, posisi2, dan posisi3. Posisi1 dapat diisi dengan salah satu barang dari ke tiga puluh barang diatas sehingga ada 30 pilihan barang untuk posisi1. Misal posisi1 diisi dengan barang $A_1$. Selanjutnya untuk posisi2 dapat diisi dengan barang diatas yang tidak berada dalam kolom atau baris yang sama dengan $A_1$ sehingga ada 20 pilihan barang untuk posisi2. Misal posisi2 siisi dengan barang $A_7$. Selanjutnya untuk posisi3 dapat diisi dengan barang diatas yang tidak berada dalam kolom atau baris yang sama dengan $A_1$ atau $A_7$ sehingga ada 12 pilihan barang untuk posisi3. Maka banyaknya cara untuk membentuk suatu kelompok yang terdiri dari tiga barang sedemikian sehingga tidak ada barang yang berada dalam baris dan kolom yang sama adalah $30\times 20\times12=7200$ cara.

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Sebuah polis asuransi gigi memberikan perlindungan untuk 3 prosedur, yaitu merapikan gigi (kawat gigi), tambal gigi, dan cabut gigi.\\
Selama masa polis, peluang dari pemegang polis memerlukan perawatan gigi adalah sebagai berikut:
\begin{itemize}
\item Peluang melakukan kawat gigi adalah $\frac{1}{2}$
\item Peluang melakukan kawat gigi atau tambal gigi adalah $\frac{2}{3}$
\item Peluang melakukan kawat gigi atau cabut gigi adalah $\frac{3}{4}$
Peluang melakukan tambal gigi dan cabut gigi adalah $\frac{1}{8}$
\end{itemize}
Kebutuhan untuk melakukan kawat gigi adalah bersifat bebas "independent" dari kebutuhan tambal gigi dan juga bersifat bebas dari kebutuhan cabut gigi. Hitunglah peluang bahwa pemegang polis akan membutuhkan tambal gigi atau cabut gigi selama masa polis.\\
a. $\frac{7}{24}$\\
b. $\frac{3}{8}$\\
c. $\frac{2}{3}$\\
d. $\frac{17}{24}$\\
e. $\frac{5}{6}$\\

Jawab:\\
K : Perawatan kawat gigi\\
T : Perawatan tambal gigi\\
C : Perawatan cabut gigi\\
$P(K)=\frac{1}{2}$; $P(K\cup T)=\frac{2}{3}$; $P(K\cup C)=\frac{3}{4}$; $P(T\cap C)=\frac{1}{8}$
Karena saling bebas maka:
\begin{eqnarray*}
P(K\cup T) = & P(K)+P(T)-P(K\cap T)\\
\frac{2}{3} = & \frac{1}{2}+P(T)-[P(K)\cdot P(T)]\\
\frac{2}{3} = & \frac{1}{2}+P(T)- \frac{1}{2}P(T)\\
P(T) = & \frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P(K\cup C) = & P(K)+P(C)-P(K\cap C)\\
\frac{3}{4} = & \frac{1}{2}+P(C)-[P(K)\cdot P(C)]\\
\frac{3}{4} = & \frac{1}{2}+P(C)- \frac{1}{2}P(C)\\
P(C) = & \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
P(T\cup C) = & P(T)+P(C)-P(T\cap C)\\
= & \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\\
= & \frac{17}{24}
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Sebuah Rumah Sakit menerima vaksin flu dari perusahaan X sebanyak 15 dari total vaksin, dan sisanya diperoleh dari perusahaan lain. Dalam setiap pengiriman, terdapat banyak botol vaksin. Untuk pengiriman dari perusahaan X, 10 persen dari jumlah botol vaksin tersebut tidak efektif. Sedangkan, untuk perusahaan lainnya, 2 persen dari jumlah botol vaksin tersebut tidak efektif.\\
Rumah Sakit melakukan pengecekan 30 botol vaksin secara acak dari sebuah pengiriman, dan menemukan terdapat 1 botol vaksin yang tidak efektif. Berapa besar kemungkinan bahwa pengiriman tersebut berasal dari perusahaan X? (pembulatan 2 desimal)\\
a. 0,10\\
b. 0,14\\
c. 0,37\\
d. 0,63\\
e. 0,86\\

Jawab: \\
\begin{eqnarray*}
p_X (x) = & {n\choose x} p^x(1-p)^{n-x}\\
p_X (x=1)= & {30\choose 1} 0,1^1(1-0,1)^{30-1}\\
= & \frac{30!}{1! 29!} 0,1(1-0,1)^{29}\\
= & 0,14
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 4 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang Diskrit =============================
\item Pilihlah distribusi yang merupakan "discrete distribution"dari beberapa distribusi di bawah ini:
i.  Poisson distribution\\
ii. Normal distribution\\
iii.Binomial distribution\\
iv. Exponential distribution\\
v.  Bernoulli Trial\\
vi. Geometric distribution\\
Distribusi yang merupakan "discrete distribution" adalah\\
a. i , ii, iv, dan v\\
b. ii, iii, iv, dan v\\
c. i, iii, v, dan vi\\
d. ii, iii, v, dan vi\\
e. iii, iv, v, dan vi\\

Jawab:
\begin{itemize}
\item Peubah Acak Diskret : Bernoulli, Binomial, Poisson, Gometrik, Binomial Negatif, Hipergeometri.
\item Peubah Acak Kontinu : Seragam, Eksponensial, Gama, Beta.\\
\end{itemize}

%===================== Materi : BAB 7 Nilai Harapan =============================
\item Sebuah koin sama sisi dilempar 2 kali. Misal X adalah jumlah kepala yang muncul saat lemparan pertama. Misal Y adalah jumlah kepala yang mucul pada kedua lemparan pertama.\\
Hitunglah $Var[X+Y]$\\
a. 0,25\\
b. 0,5\\
c. 1,0\\
d. 1,25\\
e. 1,5\\

Jawab: 
\begin{eqnarray*}
p_X (x) = & p^x(1-p)^{1-x} , I(x=0,1)\\
= & 0,5^x 0,5^{1-x} , I(x=0,1)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
p_Y (y) = & p^y(1-p)^{1-y} , I(y=0,1)\\
= & 0,5^y 0,5^{1-y} , I(y=0,1)\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
E(X) = & \sum_{i=1}^{2} x_i p_i=(0\cdot 0,5)+(1\cdot 0,5)=0,5\\
E(X^2) = & \sum_{i=1}^{2} x_i^2 p_i=(0^2\cdot 0,5)+(1^2\cdot 0,5)=0,5\\
E(Y) = & \sum_{i=1}^{2} y_i p_i=(0\cdot 0,5)+(1\cdot 0,5)=0,5\\
E(Y^2) = & \sum_{i=1}^{2} y_i^2 p_i=(0^2\cdot 0,5)+(1^2\cdot 0,5)=0,5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Var[X+Y] = & Var[X]+Var[Y]\\
= & (E(X^2)-(E(X))^2)+(E(Y^2)-(E(Y))^2)\\
= & (0,5-0,5^2)+(0,5-0,5^2)\\
= & 0,5
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 4 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang Diskrit =============================
\item Sebagai bagian dari proses \textit{underwriting} asuransi, setiap pemegang polis dilakukan pemeriksaan untuk tekanan darah. Misal X adalah jumlah tes yang sudah dilakukan ketika pertama kali ditemukan orang yang memiliki tekanan darah tinggi. Ekspektasi dari X adalah 12,5. Hitunglah peluang bahwa orang ke 6 yang dilakukan tes adalah orang pertama yang memiliki tekanan darah tinggi.\\
a. 0,027\\
b. 0,053\\
c. 0,080\\
d. 0,316\\
e. 0,394\\

Jawab:\\
Peubah acak geometri
\begin{eqnarray*}
E(X) = & \frac{1}{p}\\
1,25 = & \frac{1}{p}\\
p = & 0,08
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
p_X (x) = & p^n (1-p)^{x-n}\\
p_X (6) = & 0,08^1 (1-0,08)^{6-1}\\
= & 0,053
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Sebuah pengamatan atas kecelakaan mobil menghasilkan data sebagai berikut:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline Model mobil pada tahun & Proporsi dari seluruh kendaraan & Peluang dari terlibatnya pada sebuah kecelakaan\\
\hline 2007 & 0,16 & 0,05\\
\hline 2008 & 0,18 & 0,02\\
\hline 2009 & 0,20 & 0,03\\
\hline lainnya & 0,46 & 0,02\\
\hline
\end{tabular}\\
Sebuah mobil dari salah satu model tahun 2007, 2008, dan 2009 terlibat dalam suatu kecelakaan. Tentukan probabilitas bahwa model dari mobil tersebut adalah tahun 2007.\\
a. 0,22\\
b. 0,30\\
c. 0,33\\
d. 0,45\\
e. 0,50\\

Jawab:\\
Teorema Bayes:\\
K : mobil yang terlibat kecelakaan\\
$T_i$ : model mobil tahun i
\begin{eqnarray*}
P(B_k\mid A) = & \frac{P(A\mid B_k)P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)P(B_i)}\\
P(T_{2007}\mid K) = & \frac{P(K \mid T_{2007})P(T_2007)}{P(K \mid T_{2007})P(T_2007)+P(K \mid T_{2008})P(T_{2008})+P(K \mid T_{2009})P(T_2009)+P(K \mid T_{L})P(T_L)}\\
= & \frac{0,05\cdot 0,16}{0,05\cdot 0,16+0,02\cdot 0,18+0,03\cdot 0,2+0,02\cdot 0,46}\\
= & 0,2985
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================

\item Murid kelas XII mengadakan pesta perpisahan. 3 murid bertugas untuk membawa minuman, yaitu Indra, Joko, dan Kevin. Indra membawa 6 botol Sprite dan 6 botol Coca-Cola di dalam kotak pendingin miliknya. Joko membawa 20 botol Sprite dan 3 botol Coca-Cola di dalam kotak pendingin milknya. Kevin membawa 12 botol Coca-Cola di dalam kotak pendinginnya. Misal semua botol minuman tersebut digabungkan ke dalam kotak pendingin milik Joko. Apabila seseorang memilih minuman secara acak, berapakah kemungkinan bahwa dia memilih Coca-Cola?\\
a. 0,4468\\
b. 0,4565\\
c. 0,5345\\
d. 0,5435\\
e. 0,6349\\

Jawab:\\
Hukum Peluang Total
\begin{eqnarray*}
P(A) = & \sum_{i=1}^{n}P(A\mid B_i)P(B_i)\\
P(C) = & P(C\mid I)P(I)+P(C\mid J)P(J)+P(C\mid K)P(K)\\
= & \frac{6}{12}  \frac{12}{47}+\frac{3}{23}  \frac{23}{47}+\frac{12}{12}  \frac{12}{47}\\
= & 0,4468
\end{eqnarray*}

%===================== Materi : BAB 3 Peluang =============================
\item Sebuah perusahaan asuransi mobil memiliki 1.000 pemegang polis. Setiap pemegang polis di klasifikasi sebagai berikut:
\begin{itemize}
\item Muda atau tua
\item Lelaki atau perempuan
\item Menikah atau belum menikah
\end{itemize}
Dari pemegang polis tersebut, sebanyak 3.000 adalah muda, 4.600 adalah lelaki, dan 7.000 sudah menikah. Pemegang polis juga dapat diklasifikasi sebagai 1.320 adalah lelaki muda, dan 1.400 adalah orang muda yang sudah menikah. Sebanyak 600 dari pemegang polis adalah lelaki muda sudah menikah. Berapa banyak dari pemegang polis adalah perempuan muda dan belum menikah?\\
a. 280\\
b. 423\\
c. 486\\
d. 880\\
e. 896\\

Jawab:\\
\end{enumerate}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/Nomor/Nomor}
\caption{{Y:~ muda, M: menikah,~ L: laki-laki, P: Perempuan~
{\label{132363}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

\begin{verbatim}
Y : muda, M : menikah, L : laki-laki, P : perempuan
\end{verbatim}

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

