El restaurante al final de la caminata aleatoria: desarrollos recientes en la descripción del transporte anómalo por dinámica fraccional
Ralf Metzler] y Joseph Klaftery

Abstract

Como ya se mencionó, los procesos que se desvían de la difusión clásica de Gauss o los patrones de relajación exponencial ocurren en una multitud de sistemas. Las características anómalas. normalmente se extienden a lo largo de toda la ventana de datos, pero existen ejemplos cuando se desarrollan después de un período inicial de muestreo (efectos de tamaño / tiempo finitos), o pueden ser transitorios, es decir, eventualmente, la naturaleza anómala del proceso se convierte en una dinámica de transporte o relajación normal. En el régimen anómalo, posiblemente la definición más fundamental de anomalía de la forma que tenemos en mente es la desviación del desplazamiento cuadrático medio.

Introducción

 
Las nociones y conceptos de propiedades dinámicas anómalas, como las correlaciones espaciales o temporales de largo alcance manifestadas en leyes de poder, exponenciales estiradas, ruidos, o funciones de densidad de probabilidad no gaussianas (PDF), han sido predichos y observados en numerosos sistemas de varias disciplinas, incluyendo física, química, Ingeniería, geología, biología, economía, meteorología, astrofísica y otros. Aparte de otras herramientas estándar para describir dinámicas anómalas como caminatas aleatorias de tiempo continuo [Blumen y otros (1986), Bouchaud y Georges (1990), Hughes (1995), Klafter y otros (1996), Shlesinger y otros (1993)], Las ecuaciones dinámicas fraccionales se han vuelto cada vez más populares para modelar el transporte anómalo [Barkai (2001), Hilfer (2000), Metzler y Klafter (2000), Metzler y Klafter (2001), Sokolov et al (2002)]. En la presencia de un campo de fuerza externa, en particular, la ecuación fraccionaria de Fokker-Planck proporciona una extensión directa de la ecuación clásica de Fokker-Planck, siendo susceptible de Métodos conocidos de solución. Esta revisión actualiza y complementa con nuevas y diferentes perspectivas la guía de Random Walk para la difusión anómala [Metzler y Klafter (2000)]. Ya que Su publicación, un gran volumen de investigación que cubre los desarrollos recientes en el El marco de dinámica fraccional y sus aplicaciones se han llevado a cabo, la mayoría de los cuales se reúnen aquí. Nos abstenemos de repetir el contexto histórico y los detalles matemáticos presentados en [Metzler y Klafter (2000), Metzler y Klafter (2001)], y nos basamos en el material y las notaciones introducidas allí. Lo que deseamos señalar es el carácter de marco: al igual que la ecuación de Fokker-Planck regular se traduce en la descripción de una gran cantidad de procesos, también lo hace el análogo fraccionario en todos aquellos sistemas cuyas estadísticas se rigen por las leyes de poder ubicuas. La amplitud de tales aplicaciones potenciales, al mismo tiempo, puede alentar el uso en muchos campos nuevos. Comenzamos con una colección de sistemas, en los que se han observado procesos anómalos con correlaciones de largo alcance, que cubren tanto la evidencia experimental como la teórica. Una vez preparada la escena, dividimos la introducción de fraccional. Conceptos de dinámica entre procesos subdifusivos y superdifusivos, y para este último distinguimos entre Levy. vuelos y paseos [Klafter et al (1996), Shlesinger y otros (1993)]. Finalmente, discutimos varias aplicaciones del marco, en particular, la formulación y solución de problemas de tiempo de primer paso y fracciones Procesos de difusión-reacción. En el apéndice, recopilamos algunos conceptos y definiciones importantes sobre los operadores fraccionarios y su origen físico.

Procesos de naturaleza anómala

Como ya se mencionó, los procesos que se desvían de la difusión clásica de Gauss o los patrones de relajación exponencial ocurren en una multitud de sistemas. Las características anómalas. normalmente se extienden a lo largo de toda la ventana de datos, pero existen ejemplos cuando se desarrollan después de un período inicial de muestreo (tamaño de la noche / efectos de tiempo), o pueden ser transitorios es decir, eventualmente, la naturaleza anómala del proceso se convierte en una dinámica de transporte o relajación normal. En el régimen anómalo, posiblemente la definición más fundamental de anomalía de la forma que tenemos en mente es la desviación del desplazamiento cuadrático medio: