Solución:
1. Determinar el centroide que se debe calcular.
El centroide a calcular es de linea ya que es un alambre.
2. Determinar el elemento diferencial.
Para determinarlo utilizaremos la siguiente expresión.
\(x=\frac{\int_L^{ }x\ dL}{\int_L^{ }dL}\ ;\ \ y=\frac{\int_L^{ }y\ dL}{\int_L^{ }dL}\)
\(x=2\cos\theta\)
\(y=2\sin\theta\)
\(dL=2\theta\)
3. Resolver las integrales y obtener resultados.
\(x=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta\ 2d\theta}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{2}{\pi}}2\ d\theta}=\frac{4\ \left[\sin\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}{\left[2\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}=\frac{4}{\pi}\)
Para determinar las reacciones:
\(\Sigma\vec{F}=0\)
\(\Sigma\vec{M}=0\)
\(W=ro\ L=\left(0.5\frac{lb}{ft}\right)\left(\pi2ft\right)\)
\(W=\pi\ lb\)
Para Ay:
\(Ay=W=\pi\ lb\)
Para Bx:
\(x=\frac{4}{\pi}ft\)
\(y=2ft\)
\(Fy=-W=-\pi\ lb\)
\(rx=0\)
\(ry=4ft\)
\(Fx=Bx\)
\(Fy=0\)
Resolver el momento y despejar para obtener Bx.
\(\left(\frac{4}{\pi}ft\right)\left(-\pi\ lb\right)-\left(-4ft\right)Bx=0\)
\(-4ft\ lb+4ft\ Bx\)
\(4ft\ Bx=4ft+lb\)
Despejar Bx.
\(Bx=1lb\)
\(\Sigma Fx=0\)
\(Bx-Ax=0\)
\(Bx=Ax=1lb\).