Solución.
Paso 1: Dado que se trata de una barra utilizaremos el centroide de una linea.
\(\vec{x}\)=\(\frac{\int_L^{ }xdL}{\int_L^{ }dL}\) ; \(\vec{y}\)=\(\frac{\int_L^{ }ydL}{\int_{L\ }^{ }dL}\)
Paso 2: Para determinar la diferencial utilizaremos la siguiente expresión:
\(\vec{x}\)=\(\frac{\int_L^{ }x\ dL}{\int_L^{ }dL}\) ; \(\vec{y}\)=\(\frac{\int_L^{ }y\ dL}{\int_{L\ }^{ }dL}\)
\(x=R\cos\theta\)
\(y=R\sin\theta\)
\(dL=Rd\theta\)
Paso 3: Resolver integrales y obtener resultado.
\(x=\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\cos\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}Rd\theta}=R^2\ \frac{\int_{-2\pi3}^{\frac{2\pi}{3}}\cos d\theta}{R\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
\(=\frac{R\left[\sin\ \frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right]}{\left[\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right]}=\frac{\left(0.3\right)\left(1.732\right)}{4.189}\)
\(=0.124m\)
\(y=\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\sin d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R\theta}=\frac{R^2\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\sin d\theta}{R\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
\(=\frac{R\left[\cos\ \frac{\pi}{3}\right]_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}}{\left[0\right]_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}}\)
\(=\frac{R\left[0.5+\left(0.5\right)\right]}{\frac{4\pi}{3}}=0\)
Problema 2.
Localice el centro de gravedad x de la barra homogenea doblada en forma de arco semicircular. La barra tiene un peso por unidad de longitud de 0.5lb/ft. Además determine la reacción horizontal en el soporte liso B y los componentes x e y de reacción en el pin A.