Solución 

Paso 1: Usamos el centroide de una área, que se representa con las siguientes formulas.
\(x^{-=}\frac{\int_A^{ }x^{\sim\ }dA\ \ }{\int_A^{ }dA}\)\(y^{-=}\frac{\int_A^{ }y^{\sim}dA}{\int_A^{ }dA}\)         
Paso 2: Determinar.
\(x^{\sim}=R\cos\theta\)
\(y^{\sim}=R\sin\theta\)
\(dA=Rd\theta\)
Paso 3: Resolver integrales y obtener resultado.
Comenzamos resolviendo \(x^-\)que quedaría de la siguiente manera, considerando que el limite va de \(-\frac{2\pi}{3}a\ \frac{2\pi}{3}\) bueno comencemos a resolver lo que vale \(x^-\).
\(x^{-=}\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\cos\theta d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}Rd\theta}\)
 
\(x^-=\frac{R\left(\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\cos\theta\right)}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
Integramos coseno para obtener seno y sustituimos los que vale \(\theta\).
\(x^-=\frac{R\left[\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)-sen\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]}{\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}\)
Obtendremos los valores correspondientes de la anterior operación anterior, pero ahora R multiplicara al resultado que se tiene arriba; considerando que R es igual a 0.3 metros.
\(x^-=\frac{\left(\left(0.3\right)\left(1.732\right)\right)}{4.189}=0.124\ m\)       
Entonces el valor de \(x^-=0.124\ m\) 
   
Resolvemos \(y^-\).
\(y^-=\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\sin\theta d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}Rd\theta}\)
\(y^-=\frac{R\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\sin d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
Integramos seno para obtener -coseno y sustituimos \(\theta\).
\(y^-=\frac{\left[\left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]}{\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}\)
Obtendremos los valores correspondientes de la anterior operación anterior, pero ahora R multiplicara al resultado que se tiene arriba; considerando que R es igual a 0.3 metros.    
\(y^-=\frac{\left(\left(0.3\right)\left(0\right)\right)}{4.189}=0\)            
Entonces el valor \(y^-=0\)

Problema 2

Localice el centro de gravedad \(x^-\) de la barra homogénea doblada en forma de arco semicircular. La barra tiene un peso por unidad de longitud de 0.5 lb / ft. Además, determine la reacción horizontal en el soporte liso B y las componentes x e y de reacción en el punto A.