Solución
Paso 1: Usamos el central de una línea, que se representa con las siguientes formulas.
\(x^-=\frac{\int_L^{ }x^{\sim}dw}{\int_L^{ }dw}\)
Paso 2: Determinar.
\(x^{\sim}=2\cos\theta\)
\(y^{\sim}=2\sin\theta\)
\(dL=2\ d\theta\)
Paso 3: Resolver integrales y obtener resultado.
Comenzamos resolviendo \(x^{\sim}\) ya que con el resultado tendremos para sacar lo que valen los puntos que se piden.
\(x^{\sim=}\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta\ 2\ d\theta}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\ d\theta}\)
Integramos para cambiar de coseno a seno.
\(x^{\sim}=\frac{4\left[\sin\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}{\left[2\theta\right]_{-\frac{2}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}\)
Esto nos da igual a:
\(x^{\sim}=\frac{4}{\pi}ft\)
Comenzamos a determinar lo que vale Ax, Ay, Bx y By.
\(\Sigma\vec{F}=0\)
\(\Sigma\vec{M}=0\)
\(\Sigma Fx=0\)
Para determinar los datos anteriores es necesario saber el valor de W que es de gran importancia.
\(W=\left(0.5\ \frac{lb}{ft}\right)\left(\pi\ 2ft\right)=\pi\ lb\)
Así que Así que \(W=\pi\ lb\)
Determinamos Bx que es igual a:
Bx-Ax = 0
Usamos la formula de \(\left(rxFy-ryFx\right)\).
\(rx=\left(\frac{4}{\pi}\right)ft\)
\(Fy=\left(-\pi\ lb\right)\)
\(ry=\left(-4\ ft\right)\)
\(Fx=Bx\)
Estos datos los acomodamos en la formula anterior.
\(\left(\frac{4}{\pi}\right)ft\left(-\pi\ lb\right)-\left(-4\ ft\right)Bx=0\)
\(-4\ ft.lb+4\ ftBx=0\)
\(4\ ftBx=4\ ft.lb\)
\(Bx=\frac{4}{4}lb=1lb\)
Pero nos dice que \(Bx=Ax\) por lo tanto Bx y By equivalen a 1lb.
Ahora calculamos Ay, que esto es igual a:
\(Ay-W=0\)
\(Ay=W\)
Por lo que sabemos que W vale \(\pi\ lb\), entonces:
\(Ay=\pi\ lb\)