Solución:
Paso 1: Usamos el centroide de una linea.
\(x^{-=}\frac{\int_A^{ }x^{\sim\ }dA\ \ }{\int_A^{ }dA}\)y \(y^{-=}\frac{\int_A^{ }y^{\sim}dA}{\int_A^{ }dA}\)
Paso 2: Determinar dA.
\(x^{\sim}=R\cos\theta\)
\(y^{\sim}=R\sin\theta\)
\(dA=Rd\theta\)
Paso 3: Resolver integrales y obtener resultado.
Comenzamos resolviendo \(x^-\), el limite va de \(-\frac{2\pi}{3}a\ \frac{2\pi}{3}\).
\(x^{-=}\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\cos\theta d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}Rd\theta}\)
\(x^-=\frac{R\left(\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\cos\theta\right)}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
Después integramos coseno para obtener seno y sustituimos \(\theta\).
\(x^-=\frac{R\left[\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)-sen\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]}{\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}\)
Así después de realizar lo anterior se obtendrán los valores.
\(x^-=\frac{\left(\left(0.3\right)\left(1.732\right)\right)}{4.189}=0.124\ m\)
\(x^-=0.124\ m\)
Para resolver \(y^-\).
\(y^-=\frac{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}R^2\sin\theta d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}Rd\theta}\)
\(y^-=\frac{R\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\sin d\theta}{\int_{-\frac{2\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}d\theta}\)
luego integramos seno para obtener -coseno y sustituimos \(\theta\).
\(y^-=\frac{\left[\left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]}{\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)}\)
El resultado es:
\(y=\frac{\left(0.3\right)\left(0\right)}{1.189}=\frac{0}{4.189}=0\)
\(y^-=0\)
Problema 2.