Solución:

Paso 1. Determinar el centroide de una linea.
El centroide a calcular es de linea puesto que este es un alambre.
Paso 2: Determinar dL.
Para hacer esto realizaremos lo siguiente.
\(x=\frac{\int_L^{ }x\ dL}{\int_L^{ }dL}\ ;\ \ y=\frac{\int_L^{ }y\ dL}{\int_L^{ }dL}\)
\(x=2\cos\theta\)
\(y=2\sin\theta\)
\(dL=2\theta\)
Paso 3: Resolver integrales y obtener resultado.
resolveremos 1ero \(x^{\sim}\).
\(x^{\sim=}\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta\ 2\ d\theta}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\ d\theta}\)
Despues integramos para cambiar de coseno a seno.
\(x^{\sim}=\frac{4\left[\sin\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}{\left[2\theta\right]_{-\frac{2}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}\)
Dando como resultado:
\(x^{\sim}=\frac{4}{\pi}ft\)
Determinaremos lo que vale Ax, Ay, Bx y By.
\(\Sigma\vec{F}=0\)
\(\Sigma\vec{M}=0\)
\(\Sigma Fx=0\)
Para determinar lo anterior  es necesario saber el valor  W.
\(W=\left(0.5\ \frac{lb}{ft}\right)\left(\pi\ 2ft\right)=\pi\ lb\)
Así dando  \(W=\pi\ lb\)
Determinamos Bx que es igual a:
Bx-Ax = 0
Utilizamos la formula de \(\left(rxFy-ryFx\right)\).
\(rx=\left(\frac{4}{\pi}\right)ft\)
\(Fy=\left(-\pi\ lb\right)\)
\(ry=\left(-4\ ft\right)\)
\(Fx=Bx\)
Estos datos los sustituimos en la formula anterior.
\(\left(\frac{4}{\pi}\right)ft\left(-\pi\ lb\right)-\left(-4\ ft\right)Bx=0\)
\(-4\ ft.lb+4\ ftBx=0\)
\(4\ ftBx=4\ ft.lb\)
\(Bx=\frac{4}{4}lb=1lb\)
Pero  \(Bx=Ax\) por lo tanto Bx y By equivalen a 1lb.
Despues calculamos Ay, que esto es igual a:
\(Ay-W=0\)
\(Ay=W\)
Por lo que sabemos que W vale \(\pi\ lb\), entonces:
 \(Ay=\pi\ lb\)
\(\)