\(EI\ \ \frac{d^2v}{dx^2}\)

1.-El equilibrio del momento necesita que:

\(M=\ -Pv\)   

\(EI\ \ \frac{d^2v}{dx^2}\ =\ -Pv\)
\(\frac{d^2v}{dx^2}\ =\ \frac{Pv}{EI}\)

2.- Para obtener y darle solución a una ecuación diferencial se tiene que proponer o dar una posible solución que la satisfaga :

 
\(\frac{d^2v}{dx^2}\ +\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ v\ =\ 0\)

\(v=\ C_1\ \sin\lambda x\ +\ C_2\ \cos\ \lambda x\)
\(v\ '=\ \frac{dv}{dx}=\ C_1\ \lambda\ \cos\ \lambda x\ -\ C_2\ \lambda\ \sin\ \lambda x\)
\(v\ ''=\ \frac{d^2v}{dx^2}\ =-C_1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x\ -\ C_2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\)
\(-C_1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x\ -C_2\ \ \lambda^2\ \cos\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}\right)\left(C_1\ \sin\ \lambda x\ +\ C_2\ \cos\ \lambda x\right)=\ 0\)
\(-C_1\ \lambda^2\ \sin\ \lambda x\ -C_2\ \lambda^2\ \cos\ \lambda x+C_1\left(\frac{P}{EI}\right)\ \sin\lambda x+C_2\ \left(\frac{P}{EI}\right)\ \cos\ \lambda x=0\)
\(C_1\ \sin\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)+C_2\ \cos\ \lambda x\ \left(\frac{P}{EI}-\lambda^2\right)=0\)
\(v=\ C_1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}\ x}+C_2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}\ x}\)

3.-A continuación se calcula los devidos valores correspondientes  para nuestras constantes C1 y c2...

\(v=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0\)
\(v=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=L\)

\(C_1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)+\ C_2\ \cos\ \sqrt{\frac{P}{EI}}\left(0\right)=0\)

4.-Para lo que:  \(v=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=L\)

5.-Se obtienen resultados:

\(v\left(x=L\right)\ =\ C_1\ \sin\ \sqrt{\frac{P}{EI}}L=0\)
\(\sin\ \left(\sqrt{\frac{P}{EI}}L\right)=0\)
\(\sqrt{\frac{P}{EI}}L=n\Pi\)
\(\frac{P}{EI}\ L^2\ =\ n^2\ \Pi\ ^2\)
\(P=\ \frac{n^{2\ }\Pi^2\ EI}{L^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=1\)
\(P_{cr\ }=\frac{\Pi^{2\ }EI}{L^2}\)