Ejercicio 2: A partir de una m.a.s. dada: \(X_1,\cdots,X_n;\ \ \ \ \ X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\)construye, usando el método pivotal, un Intervalo de Confianza a nivel \(1-\alpha\) para la media \(\mu\) de una población \(X\sim N\left(\mu,\sigma\right)\) cuando la varianza poblacional \(\sigma^2\) es desconocida. Usa para ello el estadístico muestral \(T\left(\vec{X}_n;\ S\ ,\mu\right)=\frac{\left(\overline{X}\ -\mu\right)}{S}\cdot\sqrt{n}=Y\sim t(n-1)\).
El estadístico \(T\left(\vec{X}_n;\ S\ ,\mu\right)\) es una variable aleatoria que es función de la m.a.s. \(\vec{X}_n\), de la estimación de la desviación estandar poblacional, \(S\), y de la media poblacional, \(\mu\). Asimismo es una función monótona de \(\mu\), concretamente monótona decreciente, puesto que es una función lineal decreciente en \(\mu\) de pendiente \(\frac{-\sqrt{n}}{\sigma}\). Finalmente el estadístico \(T\left(\vec{X}_n;\ S\ ,\mu\right)\), como variable aleatoria, sigue una distribución de probabilidad t-student con grado de libertad \(n-1\)\(T\left(\vec{X}_n;\ S\ ,\mu\right)=Y\sim t\left(n-1\right)\), la cual no depende del parámetro a estimar \(\mu\).
Una vez comprobado que el estadístico \(T\left(\vec{X}_n;\ S\ ,\mu\right)=Y\) es una variable aleatoria bien definida para el uso del método del pivotar, procemos a determinar el intervalo de confianza al \(100\ \cdot\left(1-\mu\right)\ \%\). Al igual que en el caso anterior tenemos una distribución unimodal con pico en \(y=0\), por lo que definimos el intervalo de confianza de forma simétrica: \(\left[-y_{\frac{\alpha}{2}},\ y_{\frac{\alpha}{2}}\right]\).
En terminos de la función de distribución de probabilidad, la probabilidad de que \(y\) esté contenido en el intervalo \(\left[-y_{\frac{\alpha}{2}},\ y_{\frac{\alpha}{2}}\right]\):