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\begin{document}

\title{Viscosidad\_g5}



\author[1]{micaelapugliese.1997}%
\author[1]{juanpablolevin}%
\author[2]{Víctor A. Bettachini}%
\author[1]{Liliana Álvarez}%
\author[1]{adrianlago80}%
\affil[1]{19s F1Q L2 }%
\affil[2]{DF, FCEyN, UBA}%


\vspace{-1em}



  
  \date{May 08, 2024}


\begingroup
\let\center\flushleft
\let\endcenter\endflushleft
\maketitle
\endgroup








\sloppy


\textbf{OBJETIVOS}

\textbf{*~~}Describir el movimiento vertical de una esfera de
masa~\emph{m}~y de radio~\emph{R}, en el seno de un fluido viscoso, en
r\selectlanguage{ngerman}égimen laminar mediante el programa Tracker.

\selectlanguage{english}*~ Determinar el coeficiente de viscosidad del fluido viscoso empleado
en la practica.~ ~~

\par\null

\textbf{RESUMEN}

En el presente informe, se estudio el movimiento vertical de una esfera
en el seno de un fluido viscoso, mediante el uso del programa Tracker,
el cual permitio detectar la posicion de la esfera en funcion del tiempo
de forma automatica, tal como se puede observar en la Fig. 5. Para
realizar la experiencia se empleo el equipo que se puede observar en la
Figura 4. Los datos obtenidos se procesaron en el programa Python, y a
partir de ellos se obtuvieron los graficos 2y 3que permitieron
determinar la velocidad limite de la esfera V=~ 0,375 m/s +- 0,002 m/s ,
y a partir de este valor se determino el coeficiente de viscosidad del
fluido \selectlanguage{greek}η\selectlanguage{english}= 0,994 \selectlanguage{ngerman}± 0,004 Pa.s, mediante las ecuaciones 7 y 8.

\textbf{INTRODUCCIÓN}

Cuando un cuerpo de cae libremente en un fluido viscoso se mueve bajo la
acción de las siguientes fuerzas:~ peso, empuje y, una fuerza de
rozamiento o fuerza viscosa que es proporcional a la velocidad de la
esfera bajo la suposición de que el flujo se mantiene en régimen
laminar.

A continuación se puede observar el diagrama de cuerpo libre de la
esfera cuando se halla en el seno del líquido viscoso.

\par\null\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/mica/mica}
\caption{{Diagrama de cuerpo libre de la esfera.
{\label{226168}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

\par\null

El peso es el producto de la masa por la aceleraci\selectlanguage{ngerman}ón de la
gravedad~\emph{g}. La masa es el producto de la densidad del
material~\selectlanguage{greek}\emph{ρe}\selectlanguage{english}~por el volumen de la esfera de radio~\emph{R}. ~

\par\null

\(mg=\selectlanguage{greek}ρ\selectlanguage{english}_e\frac{4}{3}\pi R^3g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(1\right)\)

De acuerdo con el principio de Arqu\selectlanguage{ngerman}ímedes, el empuje es igual al
producto de la densidad del fluido~\selectlanguage{greek}\emph{ρf}\selectlanguage{english}, por el volumen del cuerpo
sumergido y por la aceleraci\selectlanguage{ngerman}ón de la gravedad.

\par\null

\(E=\selectlanguage{greek}ρ\selectlanguage{english}_f\frac{4}{3}\pi R^3g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2\right)\)

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad y su expresi\selectlanguage{ngerman}ón se
denomina ley de Stokes~

\par\null

\(Fr=6\pi\selectlanguage{greek}η\selectlanguage{english}RV\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(3\right)\)

\par\null

Donde~\selectlanguage{greek}\emph{η~~}\selectlanguage{english}es el coeficiente de viscocidad del fluido y V es la
velocidad de la esfera.~ ~

La ecuaci\selectlanguage{ngerman}ón del movimiento será, por tanto,

\par\null

\(ma=mg-E-Fr\ \ \ \ \ \ \ \left(4\right)\)

\par\null

La velocidad límite, se alcanzará cuando la aceleración sea cero, es
decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera
sea cero.

\par\null

\(mg-E=Fr\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(5\right)\)

\par\null

Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (5) se puede despejar la
velocidad límite V\textsubscript{L}

\par\null

\(V_L=\selectlanguage{greek}\frac{2g\left(ρ_e-ρ_f\right)R^2}\selectlanguage{greek}\selectlanguage{english}{9η}\selectlanguage{english}\ \ \ \ \ \ \ \left(6\right)\)~~

\par\null

\textbf{FIGURAS Y RESULTADOS}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/pelotita-1-pos-funcion-de-t/pelotita-2-posicion-funcion-de-t}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Posición de la esfera en función del tiempo
{\label{161358}}%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/pelotita-1-velocidad-funcion-de-t/pelotita-2-vel-funcion-de-t}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Velocidad de la esfera en función del tiempo
{\label{527504}}%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}

Como puede observarse en el gráfico presente en la Fig. 2 la posición de
la esfera a~instantes iniciales no presentó una dependencia lineal en
función del tiempo, sin embargo, a distancias mayores se pudo observar
una dependencia lineal. Esta observación también se puede ver en el
gráfico presente en la Fig. 3, en el cual a instantes iniciales la
velocidad de la esfera aumenta hasta un cierto valor hasta
aproximadamente~ t: 0,3 s y luego~ permanece dentro de un intervalo
acotado de valores, alcanzando su velocidad límite.~ Para determinar la
misma se optó por utilizar el gráfico presente en la Fig. 2, se realizó
un ajuste lineal sobre los puntos a t\textgreater{} 0,3 s mediante el
programa Python y se calculó el valor de la pendiente, puesto que el
gráfico es de posición en función del tiempo, su derivada, es decir la
pendiente de la recta, representa la velocidad limite de la esfera.~

\par\null

\textbf{Pendiente:} 37,539351606544734 cm/s

\textbf{Error de la pendiente:} 0,10090987457867633 cm/s

\par\null

\textbf{V\textsubscript{L} = 0,375 m/s ± 0,002 m/s}

Reordenando la ecuación 6, se tiene entonces:

\par\null

\(\selectlanguage{greek}η\selectlanguage{english}=\selectlanguage{greek}\frac{2g\left(ρ_e-ρ_f\right)R^2}\selectlanguage{english}{9V_L}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(7\right)\)

La velocidad l\selectlanguage{ngerman}ímite es dato, la densidad del fluido se calculó con un
densímetro, el radio de la esfera es equivalente a la mitad del diámetro
(D) de la esfera, el cual se determinó mediante un calibre, finalmente
la densidad de la esfera se calculó mediante la relación entre su masa
(m\textsubscript{e})~y volumen.

\(\selectlanguage{greek}ρ\selectlanguage{english}_f=\ 1096\ \frac{kg}{m^3}\ \pm\ 2\frac{kg}{m^3}\)

~\(\selectlanguage{greek}ρ\selectlanguage{english}_e=\ \frac{masa_e}{volumen_e}=\ 7950\ \frac{kg}{m^3}\ \pm19,1\frac{kg}{m^3}\)~ ~

Con los valores antes presentados y la ecuaci\selectlanguage{ngerman}ón 7 fue posible calcular
el coeficiente de viscocidad del fluido sabiendo que su incerteza esta
dada por

\par\null

\(d\selectlanguage{greek}η\selectlanguage{english}=\selectlanguage{greek}\sqrt{\left(\frac{4gR\left(ρ_e-ρ_f\right)}{9V_L}xdR\right)^2+\left(\frac{2R^2\left(ρ_e-ρ_f\right)}{9V_L}xdg\right)^2+\left(\frac{-2gR^2\left(ρ_e-ρ_f\right)}{9V_L^2}xdV_L\right)^2+\left(\frac{2gR^2}{9V_L}xdρ_e\right)^2+\left(\frac{-2gR^2}{9V_L}xdρ_f\right)^2}\selectlanguage{english}\ \ \ \ \left(8\right)\)

Finalmente, el valor obtenido para~\selectlanguage{greek}η \selectlanguage{english}es:

~\(\selectlanguage{greek}η\selectlanguage{english}=0,994\pm0,004\ Pa.s\)

\par\null\par\null

\par\null\par\null

\textbf{EQUIPO UTILIZADO}

\par\null\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/Sin-titulo/Sin-titulo}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Equipo usado para medir la velocidad de una esfera de metal que cae en
un líquido viscoso
{\label{921466}}%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/WhatsApp-Image-2019-11-07-at-9-32-00-PM/WhatsApp-Image-2019-11-07-at-9-32-00-PM}
\caption{{Captura de pantalla del programa Tracker tomada una vez medida la
velocidad de la esfera
{\label{777953}}%
}}
\end{center}
\end{figure}

Para realizar el trabajo pr\selectlanguage{ngerman}áctico se utilizó el equipo expuesto en la
Fig. 4 el cual consistió en~una probeta llena de un fluido viscoso,
esferas de metal de distinto radio, una pinza plástica, y una cámara
para filmar el movimiento de la esfera al ser lanzada por el extremo
superior de la probeta. Posteriormente, se utilizaron los videos con el
objetivo de determinar la velocidad limite de la esfera~ mediante el
programa Tracker, Fig. 5, para ello se debió previamente tomar una
medida de referencia para calibrar el programa.~ Se utilizó la altura de
la probeta desde la graduación de 50 ml hasta 500 ml, la cual dio~un
valor de 20,5 cm y se empleó como magnitud patrón. A su vez, se
utilizaron filtros y ajustes de imagen, tales como brillo y saturación,
con el objetivo de facilitar la detección de la esfera.~

Posteriormente se~ acotó un intervalo de tiempo del vídeo para capturar
el instante posterior en que la esfera es arrojada al fluido, y el
instante anterior al que la esfera choca con la base de la probeta, se
insertaron los ejes de referencia, posicionando al origen en la posición
donde comienza a moverse la esfera dentro del fluido, y luego~se insertó
la medida de referencia, finalmente se dio comienzo~ a la detección
automática de la posición del objeto en función del tiempo.

Por otra parte, se debieron realizar otras mediciones para determinar
las densidades de la esfera y el fluido, para ello se empleó un calibre
y un densimetro respectivamente. En el primer caso, se midió el diámetro
de la esfera, para calcular su volumen y una balanza para calcular su
masa, en el segundo caso se añadió el~ densimetro en el fluido contenido
en la probeta y se lo dejó~en libertad hasta que alcanzó~ el equilibrio,
posteriormente se leyó el valor que se encontraba a la altura del
líquido, el cual correspondió a la densidad del fluido.

\par\null

\textbf{CONCLUSIÓN}

\par\null

Se logró medir la velocidad límite de un cuerpo que cae en un fluido y
calcular el coeficiente de viscocidad de este. Sin embargo, según lo que
se explicó en la introducción, se esperaría que la velocidad tienda
asintóticamente al valor de la velocidad límite y pueda considerarse
constante una vez que la haya aproximado lo suficiente, pero como se ve
en la figura 3, esto no ocurre, y la velocidad parece oscilar en un
pequeño intervalo alrededor de la velocidad límite, lo que parece existe
algún efecto que no se consideró cuando se realizaron las operaciones
descriptas.

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

