como se pude observar en la imagen el angulo va de -120° a 120° y 120° convertiodos a radianes equivalen a \(\frac{2}{3}\pi\)

sabiendo a cuanto equivalen 120° ahora podremos a ser los cálculos necesarios para resolver este problema tomando en cuenta que es necesario tener las coordenadas en polares.

se define el diferencial:

teniendo ya las coordenada y el diferencial ahora sustituimos en las ecuaciones del centroide de una linea se sustituirá  tanto\(\)  \(\overline{x}\) como de \(\overline{y}\):

\(\overline{x}\ =\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}R\left(\cos\theta\right)Rd\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}Rd\theta}\)                                                           \(\overline{y}=\frac{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}R\left(\sin\theta\right)Rd\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}Rd\theta}\)

\(\overline{x}=\frac{R^2\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\cos\theta d\theta}{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)                                                               \(\overline{y}=\frac{R^2\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\sin\theta d\theta}{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)

 \(\overline{x}=\frac{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\cos\theta d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)                                                                \(\overline{y}=\frac{R\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\sin\theta d\theta}{\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta}\)

\(\overline{x}=\frac{R\left[\sin\theta\right]_{-\frac{2}{3}\pi}^{^{\frac{2}{3}\pi}}}{\left[\theta\right]_{-\frac{2}{3}\pi}^{^{\frac{2}{3}\pi}}}\)                                                                       \(\overline{y}=\frac{R\left[-\cos\theta\right]_{-\frac{2}{3}\pi}^{^{\frac{2}{3}\pi}}}{\left[\theta\right]_{-\frac{2}{3}\pi}^{^{\frac{2}{3}\pi}}}\)

\(\overline{x}=\frac{R\left[\left(\sin\ \frac{2}{3}\pi\right)-\left(\sin-\frac{2}{3}\pi\right)\right]}{\left[\left(\frac{2}{3}\pi\right)-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right]}\)                                             \(\overline{y}=\frac{R\left[\left(-\cos\ \frac{2}{3}\pi\right)-\left(-\cos-\frac{2}{3}\pi\right)\right]}{\left[\left(\frac{2}{3}\pi\right)-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right]}\)

\(\overline{x}=\frac{R\sqrt{3}}{\frac{4}{3}\pi}=\frac{3\sqrt{3}R}{4\pi}\)                                                              \(\overline{y}=\frac{\left(R\right)\left(0\right)}{\frac{4}{3}\pi}=\frac{\left(3\right)\left(0\right)}{4\pi}\)

\(\overline{x}=124mm\)                                                                           \(\overline{y}=0\)