Fórmula:

\(Pn=\left(\frac{\lambda_{n-1\ }\lambda_{n-2}..........\lambda_0}{\mu_n\ \mu_{n-1}.........\mu_1}\right)P_0\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}P_n=1\)

Problema

En el modelo de B&K del ejemplo visto en clase, suponga que el tiempo entre llegadas en el área de cajas es exponencial con media de 6 minutos y que el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos. Determine las probabilidades de estado estable, Pn para todas las n.
Es necesario como primer paso el conocer el valor de \(\lambda\)\(\mu_n\) para poder comenzar a resolver nuestro problema.

Para calcular \(\lambda\):

Esto representa la tasa de llegadas y queremos saber el  número de llegadas por hora y sabemos que una hora tiene 60 minutos y el tiempo entre llegadas es exponencial con media de 6 min, por lo tanto:
\(\lambda=\frac{60}{6}\)
\(\lambda=10\ por\ hora\)

Para calcular \(\mu_n\):

Esto representa el tiempo en las cajas, sabemos que una hora tiene 60 minutos y  el tiempo en la caja por cliente también es exponencial con media de 15 minutos, por lo tanto:
\(\mu_n=\frac{60}{15}\)
\(\mu_n=4\ una\ caja\)                                    \(n=0,1,2,3\)
\(\mu_n=8\ dos\ cajas\)                                    \(n=4,5,6\)
\(\mu_n=12\ tres\ cajas\)                                \(n=7,8,....\)

Por lo tanto:

\(P_1=\frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)P_0\)
\(P_2=\frac{\lambda_{1\ }\lambda_0}{\mu_{2\ }\mu_1}P_0=\left(\frac{10}{4}\right)^2P_0\)
\(P_3=\left(\frac{10}{4}\right)^3P_0\)
\(P_4=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)P_0\)
\(P_5=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^2P_0\)
\(P_6=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3P_0\)
\(P_7=\left(\frac{10}{4}\right)^3\left(\frac{10}{8}\right)^3\left(\frac{10}{12}\right)^{n-6}P_0\)

El valor de \(P_0\) se determina a partir de la ecuación:    

\(P_0+\frac{5}{2}P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3P_0+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-6}P_0=1\)
Factorizamos
\(P_0+P_0^{ }\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(1+\left(\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^2+...\right)\right]=1\)
Utilizando la serie de suma geométrica y obtenemos
\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x},\left|x\right|<1=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6\)
 
\(P_0\left[1+\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^3\left(\frac{5}{4}\right)^3\left(6\right)\right]=1\)
\(P_0\left(252\right)=1\)

Por lo tanto

\(P_0=\frac{1}{252}=.003\)