Primero debemos calcular b:
Para conocer el valor de b es necesario calcular los datos que nos pide la fórmula:
\[b=\frac{\left(n\sum_{i=1}^nX_it_i-\sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^nt_i\right)}{n\sum_{i=1}^nt_i^2-\left[\sum_{i=1}^nt_i\right]^2}\]
\(\sum_{i=1}^nX_it_i=\left(381.7\cdot258.6\right)+\left(402.2\cdot273.6\right)+\left(426.5\cdot289.7\right)+\left(454.3\cdot308.9\right)+\left(486.5\cdot331.0\right)+\left(520.2\cdot355.0\right)+\left(553.3\cdot377.1\right)+\left(590.0\cdot400.4\right)\)
\(\sum_{i=1}^nX_it_i=1263227.79\)
\(\sum_{i=1}^nX_i=258.6+273.6+289.7+308.9+331+355+377.1+400.4\)
\(\sum_{i=1}^nX_i=2594.3\)
\(\sum_{i=1}^nt_i=381.7+402.2+426.5+454.3+486.5+520.2+553.3+590\)
\(\sum_{i=1}^nt_i=3814.7\)
\(\sum_{i=1}^nt_i^2=145694.89+161764.84+181902.25+206388.49+236682.25+270608.04+306140.89+348100\)
\(\sum_{i=1}^nt_i^2=1857281.65\)
\(\left[\sum_{i=1}^nt_i\right]^2=\left(3814.7\right)^2\)
\(\left[\sum_{i=1}^nt_i\right]^2=14551936.09\)
Sustituimos los valores en nuestra fórmula:
\(b=\frac{\left[8\left(1263227.79\right)-\left(2594.3\right)\left(3814.7\right)\right]}{\left[8\left(1857281.65\right)-14551936.1\right]}\)
\(b=0.6834\)
Ahora calculamos el valor de a:
Para conocer el valor de a es necesario calcular los datos que nos pide la fórmula y como ya conocemos cuanto vale b solo debemos calcular \(\overline{X\ }y\ \overline{t}\):
\[a=\overline{X}-b\overline{t}\]
\(\overline{X}=\frac{\left(258.6+273.6+289.7+308.9+331+355+377.1+400.4\right)}{8}\)
\(\overline{X}=324.2875\)
\(\overline{t}=\frac{\left(381.7+402.2+426.5+454.3+486.5+520.2+553.3+590\right)}{8}\)
\(\overline{t}=476.8375\)
Sustituimos los valores en nuestra fórmula:
\(a=324.2875-\left(0.6834\cdot476.8375\right)\)
\(a=-1.59
\)
Ahora que conocemos los datos a y b podemos sustituir los valores en nuestra formula para realizar el inciso b):
\[X_t=a+bt\]
Sustituimos:
\(X_t=-1.59+0.6834t\)
Como en este caso queremos saber la predicción del valor que tomará el consumo para una renta de 650.000 millones de euros.
\(t=650.00\)
\(X_t=-1.59+0.6834\left(650.00\right)\)
\(X_{650}=442.62\)
Así podemos determinar que el pronóstico del valor que tomará el consumo para una renta de 650.000 millones de euros es de 442.62 millones de euros.
Gráfica: