Loprimero que tenemos que hacer es sacar la integración de la figura que es 120º debido a que la integración va de 120º a -120º porque de la parte que esta los 300 mm vale 90º y lo de abajo es -90º, para llegar a los 120º le sumamos los 90º que son los que acabamos de mencionar mas los 30º que tiene el semicírculo por lo cual el resultado es 120º.
Para saber los limites en que va, hacemos uso de una regla de tres que nos queda:
180º= \(\pi\)
120º=?
Entonces dividimos \(\frac{180º}{120º}=\frac{2}{3}\pi\)
Por lo tanto los limites van de \(-\frac{2}{3}\pi\ a\ \frac{2}{3}\pi\)
Después de eso hacemos uso de las formulas para darle solución:
Usamos las formulas:
Coordenadas polares:
- X= R cos \(\theta\)
- Y= R sin \(\theta\)
Elemento diferencial:
- dl= R d\(\theta\)\(\theta\)
Coordenadas del centroide están ubicadas en:
- \(\overline{x}\ =\ R\cos\theta\)
- \(\overline{y}=R\ \sin\ \theta\)\(\overline{x}\ =\ R\cos\theta\)
Sustituimos:
Los 300 mm son de la figura.
Coordenadas polares:
X= 300 cos \(\theta\)
Y=300 sin \(\theta\)
Elemento diferencial:
dl=300 d\(\theta\)
Coordenadas del centroide:
\(\overline{x}=123.18\)
\(\overline{y}=0\)
Para sacar \(\overline{x},\ \overline{y}\) usamos la siguiente formula:
\(\int_{L\ }^{ }R2\ dl\ entre\ \ \int_L^{ }dl\)
Sustituimos la formula para sacar \(\overline{x}\):
\(\overline{x}=\int_L^{ }R2\ dl\ entre\ \int_L^{ }dl=\int_{-\frac{2\ \ }{3}\ de\ pi}^{\frac{2}{3}\ de\ pi}\left(300\ \cos\theta\right)300\ d0\ entre\ \int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{2}{3}}300\ d\theta\ \)
\(=90000\int_{-\frac{2}{3}\ de\ pi\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }^{\frac{2}{3}\ de\ pi\ \ \ \ }\cos\theta\ d\theta\ entre\ 300\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{2}{3}}d\theta\ =300\ \left(sen\ \theta\right)\ \int_{-\frac{2}{3}\ de\ pi}^{\frac{2}{3}}\)
\(=\frac{\left(\ \ 300\ sen\ \frac{2}{3}\pi\ -\ sen\ \left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}{\left(\frac{2}{3}\pi-\left(-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}=\frac{300\left(1.72\right)}{\frac{4}{3}\pi}=\ \frac{3\left(516\right)}{4\pi}\ =\frac{1548}{4\pi}=123.18\)
\(\)
\(\overline{x}=123.18\)
\(\overline{y}=\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(300\ sen\theta\ \right)300\ d\theta\ entre\ \int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{·3}\pi}300\ d\theta\ =90000\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}sen\ \theta\ d\theta\ entre\ 300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta\)
\(=300\ \left(-\cos\ \theta\right)\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}entre\left(\ \theta\right)\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}}=\frac{300\ \left(-\cos\ \frac{2}{3}\pi\ -\ \left(-\cos-\frac{2}{3}\pi\right)\right)}{\frac{2}{3}\pi-\ \left(-\frac{2}{3}\pi\right)}\)
\(=\frac{300\ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}{\frac{4}{3}\pi}=\frac{300\left(0\right)}{\frac{4}{3}\pi}=\frac{3\left(0\right)}{4\pi}=\frac{0}{4\pi}=0\)
\(\overline{y}=0\)\(\overline{y}=\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}\left(300\ sen\theta\ \right)300\ d\theta\ entre\ \int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{·3}\pi}300\ d\theta\ =90000\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}sen\ \theta\ d\theta\ entre\ 300\int_{-\frac{2}{3}\pi}^{\frac{2}{3}\pi}d\theta\)
Lo que hicimos fue sustituir la formula con los valores después de eso multiplicamos 300x300=90000, los dividimos los 300 que son dl entre los 90000=300 que son los que tenemos arriba.
Integramos por lo que cambia de cos a sen, sustituimos los limites por lo que nos queda como en el 4to paso del procedimiento, después de eso sustituimos los limites como esta en el 5to\pi paso del procedimiento , los restamos lo sumamos según sea su signo para después multiplicarlos y los 4/3 de pi que tenemos les hacemos la ley de la tortilla y por eso nos queda el 3 arriba y por eso lo multiplicamos con 516 que es de la multiplicación de 1.172x300=516, por ultimo lo dividimos en 4 pi y ese es el resultado de 123.16.
Lo mismo hacemos con y solo en la integración cambia de sen a - cos y hacemos los mismos pasos que habiamos echo antes.