1. Bölüm: Kümeler ve Fonksiyonlar

"Everything starts somewhere, although many physicists disagree."
"Pek çok fizikçi katılmıyor olsa da, her şey bir yerden başlar."
Terry Pratchett, Hogfather  
    Bir matematikçi gibi düşünmek, üzerinde düşünülecek bir matematik gerektirir. Bu matematiğe sahip olduğumuza göre, bu bölüm kümeler ve fonksiyonlarla başlıyor. Kümeler ve fonksiyonlar, en temel matematiksel nesnelerdir, ama amaçlarımız için yeterince sorgulamaya sahiptirler. 
    Yüksek matematiğin tamamına yakın kısmı kümeler ve fonksiyonlar üzerinedir. Örneğin kalkülüs, gerçel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine türevlenebilir özellikli fonksiyonların çalışmasıdır. Bu nedenle "Matematiğin yapı taşları kümeler ve fonksiyonlardır." diyebiliriz.

Kümeler

Tanım: Bir küme, iyi-tanımlı nesneler topluluğudur.1
    Kümedeki nesnelere kümenin elemanları ya da ögeleri denir. Eğer x, X kümesinin bir elemanı ise o zaman " x  ∈  X " yazıyor ve " x, X'in elemanıdır (ögesidir) " ya da " x, X'dedir. "  olarak okuyoruz. Eğer x, X kümesinin bir elemanı değilse  " x  ∉  X " yazıyoruz. 
1. Kümenin gerçek matematiksel tanımı çok daha karmaşıktır. Bu tanım sezgiseldir ve bize fazla sorun yaratmayacaktır.

Bazı İlginç Sayı Kümeleri

    Doğal sayıların kümesi {1, 2, 3, 4, ...0}'dir ve N ile gösterilir. Noktalar, sonsuza kadar devam edebileceğimiz anlamına gelir. 
    Bazı matematikçiler, özellikle lojikçiler, 0'ı doğal sayıların içine katarlar. Diğerleri ise doğal sayıların sayma sayıları olduğunu ve 0'dan başlayarak saymadığınızı söylerler. Öte yandan 0   ∈  N alırsak bazı teoremler daha iyi ifade edilir. Bu tartışma negatif olmayan tamsayılarla ya da pozitif tamsayılarla çalışıldığı belirtilirse tatlıya bağlanabilir.
    Tam sayıların kümesi {...., -4, -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, 4, ....}'dir ve Z ile gösterilir. Z sembolü, Almanca'da sayı anlamına gelen Zahlen sözcüğünden gelir. Tüm doğal sayılar tam sayıdır.
    Rasyonel sayıların kümesi tüm kesirli sayılardan oluşur ve Q ile gösterilir. Yani ve tam sayılar ve q ≠ 0 olmak üzere x, p / q şeklinde yazılabiliyorsa x ∈ Q'dir. Örneğin 1/2, 6/1, 80/5 gibi. Ayrıca tüm tam sayılar rasyonel sayılardır çünkü ∈ Z, x / 1 gibi yazılabilir.
    R ile gösterilir. Gerçel sayıların katı tanımını yapmak zor olduğundan şimdilik bu sayıları ondalık temsil verilebilen herhangi bir sayı ya da sonsuz uzunluklu bir sayı doğrusu üzerinde bir nokta gibi temsil edilen bir sayı olarak kabul edelim.
    Gerçel sayılar tüm rasyonel sayıları içerir. Ayrıca  π  ve e de gerçel sayılardır.2 Rasyonel olamayan gerçel sayılara irrasyonel sayılar denir. 
2. Bu savların kanıtı bu kitabın konusu dışındadır.
    -1'in karekökünün var olduğunu iddia ederek C ile gösterilen karmaşık sayıları tanımlayabiliriz. Karmaşık sayılar, kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılabilmektedir. 

Kümeler Üzerine Ayrıntılar

Tanım: Hiç elemansız kümeye boş küme denir ve Ø ile gösterilir. 
    Matematikte en temel ve en tuhaf küme, hiç elemansız kümedir. Bu küme, bize sayma konusunda yardım eder ve matematiğin temelleri için vazgeçilmezdir.
Tanım: Elemanları aynı olan iki küme eşittir. X kümesi Y kümesine eşitse o zaman X = Y yazılır. Değilse  X  ≠ Y yazılır.
Tanım: X kümesinin sonlu sayıda elemanı varsa o zaman X sonlu bir kümedir deriz. X sonlu ise eleman sayısına X'in kardinalitesi denir ve |X| ile gösterilir. 
    X'in sonsuz sayıda elemanı varsa o zaman X'in kardinalitesini tanımlamak zordur, çünkü sonsuzluğun farklı büyüklükleri vardır. Şimdilik sonsuz kümeler için kardinalitenin tanımsız olduğunu söyleyeceğiz. 
Tanım: X'in bir küme olduğunu varsayalım. Y'nin her elemanı X'in bir elemanı ise Y kümesi X'in bir alt kümesidir ve Y ⊆  X olarak yazılır. 
UYARI Bir kümenin elemanı olmakla bir kümenin alt kümesi olmanın arasındaki farkı görmek çok önemlidir. x ∈ X ise o zaman {x}  ⊆ X'dir. Genellikle x ∈ X ise o zaman {x} ∉ X'dir. Ancak özel örneklerde bazen {x} ∈ X olur.
Tanım: Y, X'e eşit değilse X'in bir Y alt kümesine X'in bir öz alt kümesi denir ve  Y ⊂   X ile gösterilir. 
    Kümeleri farklı bir notasyon kullanarak tanımlayabiliriz: {x | x, P özelliğini sağlar. } Bazen | yerine : da konulur ve bunlar 'öyle ki' gibi okunur. 

Kümeler Üzerine İşlemler

Tanım: X ve Y'nin iki küme olduğunu varsayalım. X ve Y'nin  X∪Y ile gösterilen birleşimi X'de ya da Y'de ya da her ikisindeki elemanlardan oluşan kümedir.