Matematik etrafımızdaki dünyadan bağımsız düşünülemez. Etrafımızda olan bitenleri açıklamaya çalışırken birçok disiplinden yardım alındığı gibi matematikten de destek alınır. Bugünkü konumuz adını gerçek hayattan yola çıkarak alan Güvercin Yuvası İlkesi. Bu ilke aynı zamanda Dirichet kuru ilkesi olarak da geçer. Yazımızda bu ilkenin ne olduğunu ve bazı örneklerinden bahsetmeye çalıştık. Keyifli okumalar!
Teoreme göre elimizde n kutuya dağıtılacak n+1 obje varsa en az bir kutuda en az iki obje olur.
Kanıt: Burada çelişki yöntemi ile ispat yapacağız. Varsayalım ki n kutunun her birinde en fazla 1 obje olsun. Öyleyse her kutuda 1 obje olduğundan tüm kutularda toplam n obje olur.( 1+1+1+…+1=n). Fakat bizim elimizde en başta toplam n+1 obje vardı. n+1 ≠ n olduğundan çelişki vardır. Bir kutuda en az iki obje olmalıdır.
Bu basit prensibi birçok şekilde görebiliriz. Örneğin 13 kişilik bir arkadaş grubunda aynı ayda doğan en az 2 arkadaş vardır. Arkadaş grubunuzda her şeye muhalif olan biri mutlaka vardır ve buna da karşı çıkacaktır. Diğer arkadaşlarınız ve siz doğum aylarınızı söylemeye başladınız; Ocak, Şubat, Mart, Nisan, Mayıs, Haziran, Temmuz, Ağustos, Eylül, Ekim, Kasım, Aralık. Sıra size karşı çıkan arkadaşınıza geldiğinde mutlaka bu aylardan birini söyleyecek ve matematiğe karşı gelinmeyeceğini öğrenecektir.
Gelin bu teoremi biraz daha soyutlaştırarak bazı kurallar verelim;
X,Y sonlu kümeler ve f:X->Y bir fonksiyon olsun.
1) |X|>|Y| ise f bire bir(1-1) değildir.
2) f örten ve |X|=|Y| ise f bire bir(1-1)dir.
3) f bire bir(1-1) ve |X|=|Y| ise f örtendir.
ÇİNLİ KALAN TEOREMİ
n1 ve n2 doğal sayıları aralarında asal(mutlak gerekli aksi halde çözüm olmayabilir) olsun. a1 ve a2 herhangi doğal sayılar olsun. O zaman;
X=(denktir) a1 mod n1
X=(denktir) a2 mod n2
Denklemlerini sağlayan bir X sayısı vardır. Özetle Bir X tam sayısı tam sayılar tarafından bölünüyorsa ve kalanlar biliniyorsa bu X tam sayısını bulmak mümkündür. Denklemler arttıkça çözümler de uzayacağından bunun için bir matlab kodu yazabiliriz.
Sonuç
Güvercin yasası prensibi aslında ilk bakışta “zaten ben bunu biliyorum” dedirtse de bu prensip yardımıyla daha ileri seviye işlemler ve durumların değerlendirmesi yapılabilir. Genelde ayrık matematik ve kombinatorik alanlarında kullanılan bu prensipin uygulaması çoktur. Sonuç olarak bu ilke karmaşık durumlardan sade durumlara kadar bize yardımcı olur.