Найдем особые точки которые попадают в наш контур, их всего две: \(z_1 = 1 + \pi i,\ \ z_2 = 1 - \pi i\)
Несложно видеть что эти точки являются полюсами первого порядка, вычеты в которых равны соотвественно:
\[Res_{1+\pi i\ }f(z)\ =\ Res_{1-\pi i\ }f(z)\ =\ \frac{\sinh(-1)}{e^2}\]
Отсюда по теореме о вычетах имеем:
\[\oint_{|z-1|=4}\frac{\sinh(z)}{e^{2z}+e^{z+1}}dz = 4\pi i\frac{\sinh(-1)}{e^2}\]
Задание 4
Вычислить интеграл:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(11-z\right)\sin\left(7x+1\right)}{x^2-6x+13}dx\]
Решение:
Несложно заметить что наш интеграл есть мнимая часть следующего интеграла
\[e^i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(11-z\right)e^{7iz}}{(z-a)(z-\bar{a})}dz\]
Где \(a = 3 + 2i\), \(\bar{a}= 3 - 2i\)
Рассмотрим следующий контур