По картинке видно, что  \(\frac{1}{z-1}\) мы должны разложить по отрицательным степеням (z-2), а \(\frac{2i}{z+2i}\) соответсвенно по неотрицательным, тогда в итоге получим разложение Лорана в указанном кольце. 
\[\frac{1}{1-z}=-\frac{1}{\left(z-2\right)}\frac{1}{1+\frac{1}{\left(z-2\right)}}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\left(z-2\right)^{-k}\]
\[\frac{2i}{z+2i}= \frac{i}{1+i} \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{2+2i}\right)^k(z-2)^k\]