\(a = 3 + 2i\) В итоге получаем при \(1<\left|z-2\right|<2\sqrt{2}\)
\[f\left(z\right)=\ \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\left(z-2\right)^{-k}+\frac{i}{1+i}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{2+2i}\right)^k(z-2)^k\]
Задание 2
Исследовать на особые точки функцию:\[f\left(z\right)=\frac{z^2-4}{\left(\cos\pi z-1\right)z^2}\exp\left(\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{z}\right)}\right)\]
Решение:
1) \(z=\frac{1}{\frac{1}{2}+k},\ \ k\in\mathbf{Z}\) - в этих точках экспонента представляется в виде ряда с бесконечным числом ненулевым членов с отрицательными степенями, то есть предела не существует, т.е получили существенно особые точки
2)\(z = 0\) - не является особой точкой т.к не изолирована, в любой окрестности этой точки всегда найдется точка из пункта 1)
3)\(z = 2k,\ \ k \in \mathbf{Z},\ \ k \neq \pm1,0\), в этих точках достаточно смотреть на поведение функции \(\frac{1}{\cos(\pi z)-1}\), и как несложно заметить в этих точках будем иметь полюса второго порядка.
4) \(z = \infty \) - не является особой точкой в силу того что она опять же не является изолированной и всегда в ее окрестности найдутся точки из пункта 3)
Задание 3
Вычислить интеграл:
\[\oint_{|z-1|=4}\frac{\sinh(z)}{e^{2z}+e^{z+1}}dz\]
Найдем особые точки которые попадают в наш контур, их всего две: \(z_1 = 1 + \pi,\ \ z_2 = 1 - \pi\)
Несложно видеть что эти точки являются полюсами первого порядка, вычеты в которых равны соотвественно:
\[Res_{1+\pi}f(z)=Res_{1-\pi}f(z) \frac{\sinh(-1)}{e^2}\]
Отсюда по теореме о вычетах имеем:
\[\oint_{|z-1|=4}\frac{\sinh(z)}{e^{2z}+e^{z+1}}dz = 4\pi i\frac{\sinh(-1)}{e^2}\]
Задание 4
Вычислить интеграл:
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(11-z\right)\sin\left(7x+1\right)}{x^2-6x+13}dx\]
Решение
Несложно заметить что наш интеграл есть мнимая часть следующего интеграла
\[e^i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\left(11-z\right)e^{7iz}}{(z-a)(z-\bar{a})}dz\]
Где \(a = 3 + 2i\), \(\bar{a}= 3 - 2i\)
Рассмотрим следующий контур