Задание 1
Разложить в ряд Лорана по степеням \((z-2)\) функцию: \[f(z)= \frac{z(1-2i)+4i}{z^2-(1-2i)z-2i}\]
в кольце, к которому принадлежит точка \(z=0\). Указать границы кольца сходимости.
Решение:
Перепишем знаменатель в виде:\[ z^2-(1-2i)z-2i = (z-1)(z+2i)\]
И разлагая на простые дроби получаем представление для нашей функции в виде:\[f(z)= \frac{1}{z-1}-\frac{2i}{z+2i}\]
Обратимся к картинке, чтобы понять в каком кольце нужно смотреть разложение.