é um vetor normal à trajetória (\(\hat{T}\cdot \hat{N}=0\)). Assim,\[\mathbf{a}_C= vu\left|\frac{d\hat{T}}{ds}\right|\hat{N},\]portanto, o módulo da aceleração centrípeta depende da velocidade, da taxa de variação do comprimento da curva com o tempo e da norma da variação do vetor tangente com relação ao tempo. Esta norma é o que denominamos curvatura:\[\kappa\equiv \left|\frac{d\hat{T}}{ds}\right|,\]de modo que \(\mathbf{a}_C= vu\kappa\hat{N}.\)
Note, portanto, que a norma da aceleração não é a derivada da norma da velocidade, mas sim\[a\equiv\left|\mathbf{a}\right|=\sqrt{\dot{v}^2+\left(vu\kappa\right)^2},\]dependendo também da curvatura da trajetória.

Torção

Se a trajetória da partícula é restrita ao plano formado por \(\hat{T}\)\(\hat{N}\), e este plano não muda de orientação durante o movimento, a partícula fica restrita a este plano, portanto, podemos ver que este é o caso de um movimento bidimensional. Contudo, é possível que um movimento mais geral resulte que este plano, denominado plano osculante, mude com o tempo. Dizemos, assim, que a trajetória da partícula tem torção diferente de zero.
O vetor normal ao plano osculante com módulo positivo na direção da velocidade da partícula é denominado vetor binormal. Com o produto vetorial, podemos definir o vetor binormal através da relação\[\hat{B}\equiv \hat{T}\times \hat{N}.\]
Abaixo, vamos introduzir o produto vetorial. Por enquanto, um plano osculante constante implica que o vetor binormal tem derivada nula com relação ao tempo, ou mais precisamente, com relação ao valor de comprimento da trajetória.
Se o vetor binormal não é constante na trajetória, temos\[\tau\equiv \left|\frac{d\hat{B}}{ds}\right|,\]que define a torção da trajetória. Uma trajetória com torção não se restringe ao movimento da partícula em um único plano.

O produto vetorial

Em três dimensões, é possivel a definição de um produto antissimétrico que leva dois vetores a um vetor, o produto vetorial. Neste caso, o produto é definido por uma operação\[\bullet\times\bullet:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3,\]com as seguintes propriedades (sejam \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\in \mathbb{R}^3\) e \(a,b\in\Phi\)):
  1. Antissimetria: \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u}\);
  2. Bilinearidade: \(\mathbf{u}\times\left(a\mathbf{v}+b\mathbf{w}\right)=a\mathbf{u}\times\mathbf{v}+b\mathbf{u}\times\mathbf{w}\);
  3. Identidade de Jacobi: \(\mathbf{u}\times\left(\mathbf{v}\times \mathbf{w}\right)+\mathbf{v}\times\left(\mathbf{w}\times \mathbf{u}\right)+\mathbf{w}\times\left(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\right)=0\).
Contudo, o produto vetorial não é associativo.
A expressão mais simples para o produto vetorial pode ser escrita pelo determinante\[\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\det\left(\begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3}\\ v_{1} & v_{2} & v_{2} \end{array}\right),\]cuja norma é definida pela expressão\[\left|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\right|=\left|\mathbf{u}\right|\left|\mathbf{v}\right|\sin\theta,\]em que \(\theta\) é o ângulo entre os dois vetores.