\documentclass{article}
\usepackage[affil-it]{authblk}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[space]{grffile}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabulary}
\usepackage{booktabs,array,multirow}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\providecommand\citet{\cite}
\providecommand\citep{\cite}
\providecommand\citealt{\cite}
\usepackage{url}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=false,pdfborder={0 0 0}}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\patchcmd\@combinedblfloats{\box\@outputbox}{\unvbox\@outputbox}{}{%
  \errmessage{\noexpand\@combinedblfloats could not be patched}%
}%
\makeatother
% You can conditionalize code for latexml or normal latex using this.
\newif\iflatexml\latexmlfalse
\AtBeginDocument{\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.PDF,.eps,.EPS,.png,.PNG,.tif,.TIF,.jpg,.JPG,.jpeg,.JPEG}}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[ngerman,polish,english]{babel}




\begin{document}

\title{AstroLahine_V}


\author{Tiit Sepp}
\affil{Tartu Observatory}

  
\author{Rain Kipper}
\affil{Affiliation not available}
  
\author{Tõnis}
\affil{Affiliation not available}
  



\date{\today}

\maketitle




\selectlanguage{ngerman}\subsection*{Astronoomia lahtisest võistlusest}
Hea meel on tervitada teid Astronoomia lahtisel võistlusel. Tuletame meelde, et teil on lahendamiseks aega 3 tundi. Lahendamisel on lubatud kasutada kalkulaatorit ja joonlauda. Ülesanded ei ole raskuse järjekorras ja neid ei pea lahendama järjest. Hindamisel arvestatakse kõiki ülesandeid \textbf{võrdse kaaluga}, seepärast on soovitatav lahendada esmalt lihtsamad, kiiresti lahendatavad ülesanded ja alles siis asuda raskemate ja aeganõudvamate "pähklite" kallale. Ülesannete lahendamisel on lubatud teha mõistlikke lihtsustusi, ümardamiseid ja kasutada üldtunnustatud eeldusi, mis tuleks siis ka ära märkida. Soovitame alustuseks lugeda läbi kõik ülesanded. Kõiki ülesandeid hinnatakse 10 punkti skaalas ja eriti täpse lahenduse või taibuka lahenduskäigu eest võib teenida kuni 2 boonuspunkti (nende andmise otsustab zürii konsensuslikult).

\section{Gravitatsioonikonstandi väärtus}
Newton - gravitatsiooniseaduse avastaja - ei teadnud gravitatsioonikonstandi tegelikku väärtust (küll aga teadis $G M_\mathrm{Maa}$ väärtust). Kui ta oleks eeldanud, et Maa ja Päike on umbes sama tihedusega, mis väärtuse oleks ta gravitatsioonikonstandile saanud? Mis infot ta selleks oleks vajanud (ja mis võis tal olemas olla)?

\subsection{Lahendus}
Alates antiikajast on teatud teatavaid Päikessüsteemi parameetreid. Kuuvarjutuste põhjal on hinnatud nii Kuu läbimõõtu  ja kaugust (läbimõõt Maa suuruse ja varju suuruse põhjal, kaugus parallaksi abil). Päikese kaugus määrati Päikese ja Kuu vahelise nurga põhjal, mis on mõõdetud täpselt poolkuu ajal. Teades Päikese kaugust on võimalik viimase suurust arvutada nurkläbimõõdu põhjal. Seega oli Newtoni ajaks olid olemas hinnangulised suurused nii Päikese raadiuse $R_\odot = 700 000$km, Päikese kauguse $d=1.496\cdot10^{11}$m ning Maakera raadiuse ja tiheduse $R_\mathrm{Maa}=6378$km, $\rho_\mathrm{Maa}=5515$kg/m$^3$ jaoks. Newton teadis ka raskuskiirendust maapinnal, millest sai omakorda väärtuse $GM_\mathrm{Maa}$. Pannes kirja Kepleri kolmanda seaduse Maa jaoks, saab sellest avaldada $GM_\odot$. 
$$ \frac{4\pi^2}{G(M_\odot+M_\mathrm{Maa})}=\frac{P^2}{d_\odot^3}, $$ kus $P$ tähistab aasta pikkust perioodi. Kui kasutada eeldust, et Päikese kesmine tihedus on sama Maa omaga, saame Päikese massiks $M_\odot = \frac43\pi\rho_\mathrm{Maa}R_\odot^3$. Asendades selle seose Kepleri seadusesse, saame vastuseks $$ G = \left(\frac{d^34\pi}{P^2}-M_\mathrm{Maa}\right)\frac{3}{4\pi\rho_\mathrm{Maa}R_\odot^3} = 1,7\cdot10^{-11}\mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$$

Hindamine: Kirjeldus, mis selleks vaja ja olemas - 5 pt; Arvutamine Kepleri seaduse abil - 3; Maakera g väärtusest M*g leidmine - 1pt; lõppvastus - 1pt. 

\section{Põgenemine Päikesest}
Päikese keskel termotuumareaktsioonide tõttu tekkival footonil kulub pinnale jõudmiseks väga palju aega, kuna footon \selectlanguage{english}"porkab\selectlanguage{english}" pidevalt vastu aatomituumasid. Teades valguse kiirust ($300 000$ km s$^{-1}$), hajutavate osakeste ristloikepindala ja massi ($\sigma=2,4 \cdot 10^{-30}$m$^2$, $m_\mathrm{p}=1,67\cdot10^{-27}$kg) ning eeldades (vaaralt), et Paikes on uhtlase tihedusega, siis kui kaua votab aega, et footon jouaks $p=1\%$ toenaosusega pinnale? Maksimaalsete punktide saamiseks piisab oige vorrandi koostamisest ning voib kasutada uhemootmelisuse eeldust. 

\subsection{Lahendus}
Et valjuda Paikesest peab footon labima silindri, mille pohja maarab prootoni ristloige ning mille pikkus on Paikese raadius. Vastava silindri ruumala on $V=\sigma R_\odot$. Kokku on Paikeses porkeks sobilikke osakesi $N_k=M_\odot/m_p=1,2\cdot10^{57}$, millest $N=N_k\frac{V_\odot}{V}=\frac{M_\odot}{m_p}\frac{3V}{4\pi R_\odot^3}=1,4\cdot10^{9}$. 

Kui footon lahkub Paikese tuumast, siis porkab ta paljude osakestega, ning igal porkel uhemootmelisel juhul on tal $50\%$ toenaosus valjapoole porgata. Statistiliselt tahendab see, et valjapoole porkeid peab olema $N$ vorra rohkem kui porkeid suvalises suunas. Bernoulli loi vastava statistilise jaotuse kirjeldamaks seda olukorda. 
$$C_{K/2+N}^{K}0.5^K=p,$$ kus $K$ kirjeldab kogu porgete arvu. Vastava vorrandi lahendamine ei ole lahendusteta numbriliselt praktiliselt voimalik (kasutades Stirlingi lahendit $\log x!=x(\log x -1)$ ja veel omakorda lihtsustusi tehes on voimalik anda $K$ vaartusele hinnang). Vastavakt loppavaldis (aeg footoni valjumiseks), on jargmine $t=\frac{K}{c}\frac{2R_\odot}{N}$. 

Hindamine: Keskmise arvtiheduse leidmine - 2pt; Porgete arvu maaramine - 3pt; Bernoulli voi analoogse lahendi leidmine - 5pt. 

\section{Kuu vaatamine}

Kas Kuu paistab visuaalselt suurem, kui ta on horisondi lahedal (keskpunkt $5^{\circ}$ horisondi kohal) voi kui ta paistab tapselt seniidis (juhul kui Kuud vaadata samal ool)? Vota arvesse koiki voimalikke efekte, mille moju on oluline. Juhul, kui nahtuse moju on marginaalne, voib utelda, et seda pole vaja arvestada. Ohu murdumisnaitaja on $n_{ohk} = 1.0003$, atmosfaari paksuseks voib votta naiteks 100 km.\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/atmos-refr/atmos-refr}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Atmosfääri murdumisnäitja sõltuvus kõrgusest horisondist. Horisontaalteljel näiv kõrgus horisondi suhtes ja vertikaalteljel kujutise nihe kaareminutites.%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}

\bold{Lahendus}

Kõige olulisem tegur, mis Kuu suurust mõjutab on Kuu kaugus meist. Kui seniidis oleva Kuu korral on sellks $R_{Kuu}$, siis $5^{\circ}$ horisondi kohal oleva Kuu korral saab selle leida lahendades tekkiva kolmnurga. Põhimõtteliselt pole vahet kuidas tekkivat kolmnurka lahendada, aga antud lahenduses kasutame me selleks siinusteoreemi.
$$
\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma},
$$
kus $a$-ga tähistame sirget Maa keskpunkt-vaatleja, $b$-ga Maa keskpunkt-Kuu ja $c$-ga sirget vaatleja-Kuu. Nurgad on siis vastavalt vastavate sirgete vastasnurgad, millest me teame ainult $\beta = 95^{\circ}$. Siit avaldame kõigepealt $\alpha$,
$$
\alpha = arcsin(\frac{a}{b / sin{\beta}}) = 0.9469^{\circ} \rightarrow \gamma = 180 - \alpha - \beta = 84.0531,
$$
millest nüüd saame avaldada Kuu kauguse:
$$
c = sin \gamma \cdot \frac{b}{sin \beta} = 0.9984 D_{Kuu}
$$
Nüüd saame võrrelda Kuu nurkläbimõõtu mõlemal juhul, horisondi lähedal (H) ja seniidis (S):
$$
\theta_H = arctan(\frac{R_{Kuu}}{0.9984 \cdot D_{Kuu}}) \ \& \ \theta_S = arctan(\frac{R_{Kuu}}{D_{Kuu}-R_{Maa}}).
$$
Pannes siia sisse arvud, saame, et seniidis paistab Kuu $0.56 ''$ suuremana. Lisaks kui võtame arvesse, et refraktsioon muudab Kuud vertikaalsuunas väiksemaks ning horisontaalsuunas tema suurust ei muuda ja et horisondi lähedal on atmosfääri suurendusefekt siiski marginaalse kaaluga, võime kindlalt väita, et Kuu paistab suurem seniidis.


\textbf{Hindamisjuhend}

\begin{itemize}
\item 3 punkti - olulisemate mõjutegurite mõistmine
\item 5 punkti - Kuu nurkläbimõõdu erinevuse arvutamine
\item 2 punkti - hindamine et teised mõjuteguid on vähemtähtsad või nende arvutamine

\end{itemize}

\section{Abell 3827 mass}

Teame, et suure massiga objektid mõjutavad isegi valguse teekonda. Kui valgus mõne suure objekti ümber liikudes oma trajektoori muudab, nimetatakse seda nähtust gravitatsiooniläätse efektiks. Kui tegu on ideaalsete  vaatlustingimustega ning valgust kiirgav objekt paikneb täpselt kaks korda kaugemal läätsena mõjuvast raskest galaktikast või galaktikaparvest, siis tekib vaatlejale kaugest objektist ringikujuline kujutis. Seda kujutist nimetatakse ka Einsteini ringiks. Kui läätsena mõjuv objekt pole ideaalselt sfääriline, siis on ka ring lopergune. 

Einsteini ringi raadiuse saab leida seosega:
$$
\theta_e = 0.5'' (\frac{M}{10^{14} M_{\odot}})^{1/2} \cdot (\frac{d}{1000 Mpc})^{1/2},
$$
kus $\theta_e$ on ringi raadius kaaresekundites,  $M$ on läätseks oleva objekti mass ja $d$ tema kaugus.

Vaatame ühte huvitavat osalise Einsteini ringiga galaktikaparv nimega Abell 3827. See parv paikneb meist umbes 1.4 miljardi valgusaasta kaugusel. Palun hinnake Abell 3827 massi. Abiks ka Massey et al. tehtud pilt Abell 3827 Einsteini ringist.\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/a3827/a3827}
\caption{{Abell 3827, pilt: Massey et al.%
}}
\end{center}
\end{figure}

\textbf{Lahendus}

\selectlanguage{ngerman}Ülesande lahendamisel on sisuliselt vaja teha ainult kaks toimingut. Esiteks tuleb määrata joonise järgi Einsteini ringi raadius ja teiseks avaldada valemist mass. 

Esmalt tuleb aru saada, et kuna Einsteini ring ei ole ringi kujuline, vaid on elliptiline, siis tuleb mõõta mõlemad poolteljed. Kõige lihtsam on selleks leida ülesande teiselt jooniselt kahe ekstreemse punkti abil tekkiva ellipsi suurus. Antud lahenduses on kasutatud kõigi suurte pooltelgede keskmist, $\theta_e = 0.25 ''$, aga loeme õigeks kõik mõistlikul viisil saadud vastused, olgu siis selleks kahe ekstreemse punkti keskmine, täpsete kordinaatide järgi arvutatud nurkväärtused jne jne.



Nüüd valemi juurde. Suhteliselt lihtne on valemist avaldada massi, saame:
$$
M = 10^{14} M_{\odot} \cdot (\frac{\theta_e}{0.5''})^2 \cdot \frac{1000 Mpc}{d}.
$$

Pannes sinna sisse nüüd arväärtused, saame:
$$
M = 10^{14} M_{\odot} \cdot (\frac{0.25 ''}{0,5''})^2 \cdot \frac{1000 Mpc}{1.4 10^{3} \cdot 0.306 Mpc} = 5.86 \cdot 10^{13} M_{\odot},
$$
mis on praegu parimast täpsest massihinnangust $M_{A3827}=2.7 \cdot 10^{13} M_{\odot}$ ainult natukene suurem.\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.70\columnwidth]{figures/a3827-2/a3827-2}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Täpsem vaade Einsteini ringile. Massey et al.%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}\selectlanguage{english}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.49\columnwidth]{figures/tabel-a3827/tabel-a3827}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Abell 3827 Andmed: tulpade nimed (nimi, otsetõus, kääne, antud punkti ja parve keskpunkti läbiva ellipsi: suur poolteg, väike pooltelg, nurk mõõdetuna läänesuunast ja liikudes vastupäeva)%
}}
\end{center}
\end{figure}\selectlanguage{ngerman}

\textbf{Hindamisjuhend}

\begin{itemize}
\item 2 punkti - tabelist õige veeru kasutamine suure pooltelje määramiseks
\item 3 punkti - mitme punkti järgi täpsema väärtuse leidmine
\item 3 puntki - massi leidmise valemi korrektne kasutamine
\item 2 punkti - õige suurusjärguga lõppvastus

\item +1 boonus arutelu vigade või täpsema massi leidmise üle
\end{itemize}

\section{Kui hele täht?}
19. sajandi esimesel poolel käis võidujooks tähtede kauguse määramise nimel. Esimesena avaldas ajakirjaartiklis tähe kauguse Tartus tehtud Veega mõõtmiste põhjal F.G.W. Struve. Vaid veidi jäi temast maha F.W. Bessel. Bessel valis täheks tunduvalt lähemal asuva Luige tähtkujus asuva kaksiktähe 61 Cygni, millel läheduse tõttu oli aastaparallaks suurem ja seetõttu mõõtmisvigadest tingitud kauguse hindamise määramatus väiksem. Tänapäeval on 61 Cygni kaugust mõõdetud ka astromeetriasatelliidi Hipparcos abil. Järgnevalt on toodud 61 Cygni tähesüsteemi heledama komponendi (61 Cyg A) olulisemad parameetrid:\selectlanguage{english}
\begin{table}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{61 Cygni A mõõdetud parameetrid}}
\begin{tabular}{l|l}
\hline
Suurus & V\selectlanguage{ngerman}äärtus \\
\hline
Radiaalkiirus $v_r$ & -64,3 km/s \\
Parallaks $\pi$ & 285,88 millikaaresekundit \\
Omaliikumine $\mu_\alpha$ & 4156,93 millikaaresekundit aastas \\
Omaliikumine $\mu_\delta$ & 3259,39 millikaaresekundit aastas \\
N\selectlanguage{ngerman}äiv visuaalne tähesuurus & $5,^{m}20$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

Leia 61 Cyg A kaugus parsekites praegu ja suurima l\selectlanguage{ngerman}ähenemise hetkel. Millal see suurim lähenemine aset leiab? Kui heledalt paistab siis 61 Cyg A maapealsele vaatlejale?

\textbf{Lahendus}

\textbf{Hindamisjuhend}
\begin{itemize}
\item Lahenduskäiku selgitav joonis -- (1 p)
\item Parallaksist kauguse leidmine -- (1 p)
\item Tähe kiirusvektori arvutamine omaliikumiste JA radiaalkiiruse põhjal -- (3 p)
\item Kiirusvektorist ja kaugusest lähtuvalt suurima lähenemise ajahetke arvutamine -- (3 p)
\item Tähe heleduse määramine, kui täht on vaatlejale kõige lähemal -- (2 p)
\item Ära tundmine, et tegelikult tähe kiirus vaatleja suhtes muutub kogu aeg -- (+1 p boonus)
\end{itemize}

\section{Väga suur teleskoop}
Kanaaride saarestiku saarel La Palmal asub niinimetatud Euroopa Põhjaobservatoorium (vastandina T\selectlanguage{polish}š\selectlanguage{english}iilis asuvale Euroopa L\selectlanguage{ngerman}õunaobservatooriumile). Sealse pooleldi kustunud vulkaani otsa asutati Roque de los Muchachos observatoorium, milles tänaseks töötab palju teleskoope. Kõige suurem neist on hetkel ka maailma suurim -- Gran Telescopio Canarias (GTC), maakeeli Kanaaride suur teleskoop -- mille peapeegli läbimõõt on 10,4 meetrit ja fookuskaugus 169,9 meetrit. Kui nõrku tähti on GTC abil võimalik inimsilmaga vaadelda?

\textbf{Lahendus}

Ülesanne on väga lihtne tähesuuruste mõistest aru saamise ülesanne. Fookuskaugus on siin ainult infomüraks, oluline on GTC peapeegli pindala ja inimese silmaava pindala suhe. Silma pindala ja vastu võetud valgusvoog on võrdelises seoses. Vastus oleks erinevus kordades teisendatuna tähesuurustesse \textbf{+} inimese silma piirtähesuurus (lugegem õigeks $+5\ldots+6,5$ tähesuurust, parim valik 6,0).
\begin{equation}
\frac{I_1}{I_2} = 10^{0,4\cdot(m_2-m_1)} \longrightarrow \log\frac{I_1}{I_2}=0,4\cdot(m_2-m_1),
\end{equation}
millest palja silmaga vaatamise piirtähesuurust ja silma läbimõõdust (lugegem õigeks $5\ldots7$ mm, parim valik 7 mm) leitud pindala $S_2$ arvestades saame:
\begin{equation}
m_2 = m_1 + 2,5\cdot\log\frac{S_1}{S_2} = 6,^{\textrm{m}}0 + 2,5\cdot\log\frac{10400^2}{7^2}=6,0+2,5\cdot6,34=21,^{\textrm{m}}86.
\end{equation}

\textbf{Hindamisjuhend}
\begin{itemize}
\item Selgitus, kuidas piirtähesuuruse saab leida teleskoobi ja silma avade pindalade suhtest -- (5 p)
\item Silma piirtähesuuruse  ja silmaava läbimõõdu teadmine -- (1 p)
\item Korrektne tähesuurusteks teisendamine -- (4 p)
\item Asjasse puutuvate lisaefektide arvestamine (nt. teleskoobi sekundaarpeegli mõju töötava ava pindalale, tüüpiliselt on sekundaarpeegli läbimõõt ca $0,3\cdot D$) (+1 boonus)
\end{itemize}


\section{Planeeditabel}\selectlanguage{english}
\begin{table}
\caption{\selectlanguage{ngerman}{Tabel planeetide ja Kuu üldandmete kohta.}}
\begin{tabular}{l|llllllll}
Taevakeha & Kaugus P\selectlanguage{ngerman}äikesest & Orbiidi ekstsentrilisus & Mass & L\selectlanguage{ngerman}äbimõõt ekvaatoril & P\selectlanguage{ngerman}öörlemisperiood & Tiirlemisperiood & Tihedus  & albeedo\\
\hline
P\selectlanguage{ngerman}äike & 0 & - & 330000 & 109,2 & 25,4 & - & 0,26 & \\
Merkuur & 0,39 & 0,206 & 0,06 & 0,38 & 59 & 0,241 & 0,98 & 0,142\\
Veenus & 0,72 & 0,0068 & 0,81 & 0,95 & 243 & 0,62 & 0,95 & 0,75 \\
Maa & 1 & 0,0167 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0,30 \\
Kuu & 0.00257 & 0,055 & 0,0123 & 0,025 & 27,3 & 0,075 & 0,61 & 0,12\\
Marss & 1,52 & 0,093 & 0,107 & 0,53 & 1,03 & 1,88 & 0,71 & 0,16 \\
Jupiter & 5,2 & 0,049 & 318 & 11,2 & 0,42 & 11,9 & 0,24 & 0,34\\
Saturn & 9,6 & 0,056 & 95 & 9,4 & 0,44 & 29,5 & 0,125 & 0,34\\
Uraan & 19,2 & 0,044 & 14,5 & 4 & 0,72 & 84,3 & 0,23 & 0,30\\
Neptuun & 30,1 & 0,011 & 17,1 & 3,9 & 0,67 & 165 & 0,297 & 0,29 \\
\end{tabular}
\end{table}
Tabelis olev Kuu kaugus on m\selectlanguage{ngerman}õõdetud Maast; kõik andmed Maa ühikutes (Maa väärtus on defineeritud ühena). SI ühikutes oleks Maa andmed järgmised: 
\begin{enumerate}
\item Kaugus Päikesest $1,496\cdot10^{11}$m
\item Mass $6\cdot10^{24}$kg
\item Läbimõõt ekvaatoril $1,2756\cdot10^7$m
\item Pöörlemisperiood  23t 56m 4s
\item Tiirlemisperiood 365p 6t 9min
\item Tihedus $5515$ kg/m$^3$
\item M_{\odot} = -26,74
\end{enumerate}

\selectlanguage{english}
\FloatBarrier
\end{document}

