Sucesiones Una sucesión es un conjunto ordenado de números. Cada uno de ellos es denominado "término" o "miembro" de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina "longitud" de la sucesión. Por ejemplo: \(2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\) forman una sucesión. Se denomina término general de una sucesión, \(S\), simbolizado como \(Sn\), a la expresión que representa cualquier término de esta. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula, \(Sn\ =\ f\left(n\right)\) en la cual, dándole a \(\left(n\right)\) un cierto valor, se obtiene el término correspondiente.Forma explícita: Sucesiones cuyos términos quedan definidos por una fórmula general. Ejemplo: .\(an\ =\ 7\left(2n+1\right)^2+5^n\)Forma recursiva: Sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores, conociendo el primer termino. Ejemplo: \(an\ =\ an-1\ +7n^2\), con \(a1\ =\ 3\).Monotonía de una sucesión: Se dice que una sucesión es monótona si es creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente. \(Sn\) estrictamente creciente: \(an+1\ge an\)\(Sn\) creciente: \(an+1>an\)\(Sn\) \(Sn\) estrictamente decreciente: \(an+1\le an\)\(Sn\) \(Sn\) decreciente: \(an+1<an\)\(an+1<an\)Acotación de una sucesión: Se dice que una sucesión está acotada si está acotada inferiormente Y superiormente a la vez. \(Sn\) acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, al que llamamos cota inferior de la sucesión. \(an\ge k\) \(Sn\) acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K'', al que llamamos cota superior de la sucesión. \(an\le k\)Convergencia de una sucesión: Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen un límite finito. Ejemplos: Las siguientes sucesiones convergen a 0 y a 1 respectivamente. \(Sn=\frac{1}{n}\) y \(Sn=\frac{1}{n}\)Las sucesiones que no tienen un límite son sucesiones oscilantes.Las sucesiones que tienen límite infinito son sucesiones divergentes.Propiedades:1) Todas las sucesiones convergentes están acotadas. El reciproco NO es verdadero.2) Toda sucesión monótona y acotada es convergente (Weierstrass). Series Aunque sean conceptualmente parecidas, no se debe confundir una serie con una sucesión. Series son básicamente sumas de sucesiones. Condición necesaria para la convergencia:\(Σan\) C -> \(\lim\) \(an\)\(=0\)(C significa converge, no encontré el caracter del pizarrón jaja)Esto significa que si la sucesión tiende a 0 la serie cumple con la condición necesaria para la convergencia y por lo tanto PUEDE ser convergente, pero no necesariamente.Convergencia:La serie es conergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De lo contrario es divergente.Serie geométrica: serie cuyos términos forman una progresión geométrica, es decir que cada termino es igual al anterior multiplicado por una constante k.La razón entre los términos sucesivos de la serie permance constante.\(k^{n-1}\)Multipliquemos ambos miembros por k:\(kSn=ak+ak^2+ak^3+ak^4+...\)\(+ak^n=\)\(Σ\)\(ak^n\)Restamos ambas ecuaciones:\(Sn-kSn=a-ak^n\)\(Sn=\frac{\left(a-ak^n\right)}{\left(1-k\right)}\)Separamos:\(Sn=\frac{a}{1-k}-\frac{ak^n}{1-k}\)Para \(Sn=\frac{a}{1-k}-\frac{ak^n}{1-k}\) la serie converge,para\(Sn=\frac{a}{1-k}-\frac{ak^n}{1-k}\) \(>1\) la serie diverge,para k = 1 la serie diverge,para k = -1 la serie es oscilante.Series telescópicas: series cuyas sumas parciales poseen un número fijo de términos tras su cancelación.\(\left(a2-a1\right)+\left(a3-a2\right)+\left(a4-a3\right)+...+\left(an-an-1\right)=an-a1\)Se observa que la mayoría de los términos se cancela por los signos, quedando solamente el último término menos el primero.Critério de comparación: Si \(0\le an\le bn\) Σan vendria a ser la serie "pequeña",si Σbn converge, entonces Σan convergeSi Σan diverge, entonces Σbn diverge